Материал: Sb98337

Пусть a bi – два комплексных корня уравнения. В таком случае базис образуют функции e a bi x , e a bi x . С помощью невырожденного преобразования можно перейти к более удобному вещественному базису: eaxcosbx, eaxsin bx .

Примечание. При решении дифференциальных уравнений используются два приема из алгебры:

1)поиск базиса, если мы знаем, что размерность равна 2;

2)для поиска частного решения – решение системы линейных уравнений. Похожим способом можно решать и дифференциальные уравнения

высших степеней:

1.y V 2y y 0 (общее решение).

Ответ: C1cosx C2sinx x C3cosx C4sinx .

2.y V 8y 16y 0 (общее решение).

Ответ: C1 C2x e2x C3 C4x e 2x .

3.y V 8y 16y 0 (общее решение).

Ответ: C1 C2cos2x C3sin2x x C4cos2x C5sin2x .

В задаче 3 имеем и вещественный корень, и комплексные корни, т. е. решение может оказаться суммой синусов и экспонент.

4. y 3y 3y y 0, y 0 1, y 0 2, y 0 3 (частное решение).

Решение. Сначала найдем общее решение уравнения. Корень 1 кратности 3 означает, что

y C1 C2x C3x2 ex .

11

Для определения констант найдем производные: y C1 C2x C3x2 ex C2 2C3x ex ;

y C1 C2x C3x2 ex 2 C2 2C3x ex 2C3ex .

Затем подставим начальные условия. Получим систему линейных уравнений:

Ответ: 1 x ex .

5.y 2 y y 0, y 2 1, y 2 2 (частное решение). Ответ: 7 3x ex 2 .

6.y y 0, y 0 3, y 0 1, y 0 1 (частное решение).

Ответ: 2 e x .

3.2.Неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

Если уравнение имеет вид y n an 1y n 1 a1y a0 y f x , то в ряде случаев можно найти решение уравнения методом неопределенных коэффициентов.

Обратите внимание, что в одной задаче используется несколько разных действий:

решение квадратных уравнений, в том числе с комплексными корнями; дифференцирование (и при решении задачи, и для самопроверки); нахождение базиса; метод неопределенных коэффициентов;

решение систем линейных уравнений.

Если правая часть имеет вид P x e x или Q x cosbx R x sinbx eax и

при этом λ (соответственно, a bi ) не является корнем характеристического уравнения, то следует искать решение с помощью метода неопределенных коэффициентов.

12

корнем характеристического уравнения степени r, то надо умножить соот-

ветствующее уравнение на xr .

Более подробная классификация случаев представления частного решения будет приведена ниже, сейчас рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найдите общее решение уравнения y 3y 2 y x2 x e3x .

Характеристическое уравнение однородного уравнения 2 3 2 0 имеет корни 1 и 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения y0 x C1ex C2e2x .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Число 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому ищем частное решение в виде

y D0x2 D1x D2 e3x . Найдем первую и вторую производные данной

функции, подставим в уравнение и получим после сокращения на e3x :

2D0x2 6D0 2D1 x 2D0 3D1 2D2 x2 x.

Сравнивая коэффициенты для обеих частей этого тождества, получаем систему линейных уравнений, из которой находим коэффициенты:

D0 12 , D1 1, D2 1.

Отсюдаполучимформулудлячастногорешениянеоднородногоуравнения:

y 12 x2 2x 2 e3x.

Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y C1ex C2e2x 12 x2 2x 2 e3x.

13

Пример 2. Найти частное решение уравнения y 4 y 4 sin2x cos2x , удовлетворяющее условиям y y 2 .

Характеристическое уравнение имеет корни 0 2i . Общее решение однородного уравнения имеет вид

y x C1cos2x C2sin2x .

Выразив y0 x , y0 x и подставив их в исходное уравнение, получим:

4Bsin2x 4Ccos2x 4sin2x 4cos2x .

Отсюда B 1,C 1, y0 x x cos2x sin2x .

Общее решение неоднородного уравнения имеет следующий вид: y x C1cos2x C2sin2x x cos2x sin2x .

Для нахождения констант C1 и C2 воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав общее решение:

y x 2C1sin2x 2C2cos2x x 2cos2x 2sin2x sin2x cos2x

Отсюда C1 3 , C2 12.

Поэтому искомым решением является функция

y x 3 cos2x 12 sin2x x cos2x sin2x .

Пример 3. Найдите общее решение уравнения y 4y 4y xe2x.

Характеристическое уравнение однородного уравнения 2 4 4 0 имеет двукратный корень 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения y0 x (C1 C2x)e2x .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y x2 D0x D1 e2x , поскольку число 2 является корнем характеристического уравнения кратности 2.

14

Найдем первую и вторую производные данной функции. Подставим в

уравнение и после сокращения на e2x сможем составить систему линейных уравнений. Из нее найдем коэффициенты:

D0 16 , D1 0.

Частное решение неоднородного уравнения:

y 16 x3e2x .

Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

3.3. Классификация решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнения вида

y ay by f x , a,b R .

Когда решение общего однородного уравнения известно, общее решение неоднородного уравнение можно записать в виде

y x y0 x y* x ,

где y0 – общее решение однородного уравнения, а y* – частное (какое-

нибудь) решение неоднородного уравнения. Наиболее востребованы функции, для которых интегрирование можно провести аналитически. Класс таких функций составляют линейные комбинации выражений вида

15