Материал: Sb98337

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Некоторые дифференциальные уравнения

снепостоянными коэффициентами

Мы рассмотрели различные виды дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Но, возможно, у вас возник вопрос, – какими будут дифференциальные уравнения и методы их решения для непостоянных коэффициентов? В качестве справочного материала предлагаем вам инфор-

мацию о некоторых разновидностях таких уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пример. Пусть в уравнении y f x, y функция f x, y может быть

разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной пере-

Интегрируя левую часть по x, а правую по y, получим решение. Только надо учесть, что если функция f2 y имеет вещественный корень y0, то

функция, тождественно равная y0, является решением дифференциального уравнения:

3y2 1 dy 2xdx.

Интегрируем

y3 y x2 C.

Отсюда:

y3 y x2 C .

Примечание: выражать y через x не обязательно.

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным,

26

уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит y и y в первой степени, т. е. имеет вид

y P x y Q x .

Линейные уравнения можно решать различными способами, в том числе методом подстановки. Этот метод состоит в представлении y x u x v x .

От этого произведения можем взять производную и подставить функцию в уравнение:

u x v x u x v x P x u x v x Q x .

В таком виде уравнение выглядит не очень удобным для решения, но

можно сгруппировать слагаемые и свести задачу к двум дифференциальным

уравнениям с разделяющимися переменными:

v x u x P x u x v x u x Q x 0.

Сначала найдем функцию u x такую, что левая скобка обратится в 0. Это несложно сделать, поскольку u (x) P(x)u(x) – уравнение с разделяю-

щимися переменными. Затем выбираем частное решение u1 x и подставля-

ем его во второе уравнение v x u x Q x 0 . Таким образом, находим y x в виде u x v x .

Уравнения Бернулли

Уравнением Бернулли называют дифференциальное уравнение вида y P x y Q x ym , где m не равно ни 0, ни 1.

Уравнение Бернулли также можно решить методом подстановки, т. е.

при представлении y x u x v x мы снова получим два уравнения с разделяющимися переменными.

27

F x, y k , y k 1 , y n 0 , то можно принять y k (производную порядка k) за новую функцию.

Дифференциальные уравнения Эйлера

Уравнения вида

xn y n an 1xn 1y n 1 an 2xn 2 y n 2 a1xy a0 y f x

называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Такие уравнения мож-

но решить с помощью подстановки x et для положительного x и x et для отрицательного х.

При такой замене переменной уравнение Эйлера приводится к диффе-

ренциальному уравнению степени n с постоянными коэффициентами.

Метод Лапласа для решения систем дифференциальных уравнений

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексной переменной (изображение) с функцией f(t) вещественной переменной (оригинал). С его помощью решаются дифференциаль-

ные и интегральные уравнения.

Преобразование

F p f t e ptdt

0

ставит в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p).

Многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют

более простые соотношения над их изображениями. Так, например, линей-

ные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

2. Тренажеры для самостоятельной работы

Тема «дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» – хороший полигон для того, чтобы почувствовать, как знания переходят в

умения. Правила решения таких задач очень просты, но применение их на

практике нередко вызывает затруднение и требует специальных усилий по осмыслению алгоритмов решения.

28

Для того чтобы проводить эту работу самостоятельно, был разработан комплекс программ-тренажеров. Каждая программа ориентирована на одну из разобранных выше ситуаций и предусматривает возможность выбрать за-

дачу, решить ее самостоятельно и затем просмотреть подробное описание ее

решения. Среда программирования – пакет Exсеl – выбрана по соображениям максимальной доступности использования на любом компьютере.

Тренажер представляет собой файл в формате .xls, состоящий из трех листов. Первый лист «Условия», на нем выводится условие задачи. Чтобы обновить условие задания, надо ввести в помеченную ячейку число из указанного диапазона. На том же листе находится окно для ввода ответа и окно для оценки правильности решения. После того как задача решена, надо ввести в окно для ответа значение полученного решения в точке ноль. Если это число совпало со значением правильного решения в точке ноль, то в окне для

ответа появится «да», в противном случае – «нет». Параллельно на втором

листе «Решения» формируется подробное решение предложенной задачи, по которому можно проанализировать правильность собственного решения.

Ниже приведены копии листов «Условия» и «Решение» для одного из

тренажеров в том виде, как они выводятся на экран.

Условие

Решите задачу Коши

y Ay By 0, y x0 y0, y x1 y1.

Для формирования коэффициентов и начальных условий

введите в соседнюю ячейку число от 1 до 308 24:

Проверка: вычислите значение решения в точке х = 1.

Введите ваш ответ y 1 4, оценка да.

Решение

Однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными ко-

эффициентами (вещественные корни):

y Ay By 0;

Характеристическое уравнение:

2 A B 0.

29

Общее решение однородного уравнения: y C1e 1x C2e 2x . Выбор произвольных постоянных (решение задачи Коши):

y x0 y0 C1e 1x0 C2e 2 x0 y0.

Для использования второго условия необходимо сначала вычислить

производную:

y x0 y1 y x 1C1e 1x 2C2e 2x 1C1e 1x0 2C2e 2x0 y1.

В итоге получаем систему для определения постоянных C1,C2 :

Описанные тренажеры можно найти на сайте leti.vm-2.spb.ru.

30