Материал: Sb97588

матричного уравнения (4.4). В последнее время все большую популярность получает так называемый метод диагонализации.

Известно [5], что процессы, оптимальные в смысле минимизации (4.1), находятся среди решений следующей системы дифференциальных уравнений:

где x(t) – вектор состояния объекта управления; p(t) – вектор вспомогательных

переменных, размер которого совпадает с размеромвектора x(t).

В [5] показано, что матрицу системы уравнений (4.5) (Π) можно представить в диагонализированном виде:

где диагональная матрица Λ имеет в качестве элементов собственные числа матрицы системы уравнений (4.5) с положительными вещественными частями, а матрица W состоит из собственных векторов матрицы Π, образованных следующим образом: первые n столбцов матрицы W соответствуют собственным числам Π с положительными вещественными частями, а последние n столбцов матрицы W – собственным числам Π с отрицательными вещественными частями.

Метод диагонализации содержит возможность выражения решения уравнения (4.4) через матрицу W , т. е. использование метода диагонализации

позволяет определить матрицу P из выражения

P =W22W12−1.

Таким образом, использование метода диагонализации позволяет свести задачу решения нелинейного матричного уравнения (4.4) к задачам расчета собственных чисел и векторов матрицы Π.

К сожалению, на сегодняшний день не существует способа выражения всех технических требований к системам стабилизации в терминах весовых множителей функционала (4.1). В связи с этим на практике после синтеза оптимального закона управления выполняется дополнительная проверка динамики замкнутой системы. Такая проверка, в частности, удобна при анализе собственных чисел синтезированной системы.

21

Очевидно, что динамика синтезированной системы может быть описана следующим образом:

dxdt(t) = Acx(t),

где Ac = A − BK .

Тогда динамические свойства оптимальной системы могут быть оценены по собственным числам матрицы Ac . В частности, время переходного процесса в замкнутой системе будет иметь вид

где i =1,2,...,n ; ai – вещественные части собственных чисел Ac . Колебательность в замкнутой системе описывается выражением

где i =1,2,...,nc , nc – число пар комплексно-сопряженных корней ∆(s).

Система стабилизации бокового отклонения СВП должна обеспечивать время переходного процесса в пределах 25…60 с. Переходный процессв замкнутой системе должен заканчиваться не более чем за одно колебание (µ ≤ 2π). Однако коэффициенты обратной связи должны иметь ограниченные значенияисходя из ограничений на угол перекладки руля. Поэтому после синтеза оптимальной системы имеет смысл дополнительная настройка коэффициентов обратной связи, причем коэффициенты по рысканию и угловой скорости обязательно должны быть отрицательными для обеспечения устойчивости системы, а обратная связь по углу дрейфа может быть как отрицательной, так и положительной вследствие наличия неминимально-фазовости в канале управления по дрейфу.

Рассмотренный метод синтеза позволяет реализовать регулятор с учетом требований к качеству переходного процесcа, но никак не учитывает требования к точности. Для подобного регулятора характерно присутствие статической ошибки, которая нежелательна, так как объект управления СВП как раз чувствителен к постоянным и низкочастотным возмущениям.

4.2. Синтез оптимального закона стабилизации бокового отклонения СВП

Линеаризованные уравнения горизонтального движения судна с учетом инерционности привода руля имеют вид

22

δ(t) =u1(t),

где коэффициенты модели a41,a43 могут быть найдены из уравнения бокового движения

zg (t) =V sin[β(t)−ϕ(t)]

Редукция (4.6), т. е. уменьшение порядка, возможна потому, что времена переходных процессов в следящих системах управления рулем и лопастями ВИШ значительно меньше времени переходных процессов в объекте управления. Обычно редукция допускается, если время переходных процессов отбрасываемых уравнений в 10–15 раз меньше оставляемых уравнений.

При формировании закона управления согласно (4.3) система стабилизации будет иметь статическую ошибку. Для ее устранения математическую модель МПО следует расширить, вводя интегрирующую обратную связь по боковому отклонению:

ξ(t) = zg (t).

23

Наличие интегрирующей обратной связи ухудшает устойчивость замкнутой системы управления. Таким образом, необходимо найти оптимальный закон управления для моделей (4.7) и (4.8).

Для приведения уравнений объекта управления (4.7) к виду (4.2) используются следующие обозначения: x(t) = ϕ(t),ω(t),β(t), zg (t) т, y (t) = x(t); тогда матрицы, входящие в (4.2), примут следующий вид:

где I – единичная матрица. Из выражения (4.1) видно, что матрицу C можно не учитывать. Аналогичным образом можно привести уравнения объекта

(4.8) к виду (4.2).

Значения коэффициентов матриц состояния A и управления B системы уравнений (4.2) приведены в табл. 2.1. Значение коэффициента a23 опреде-

ляется при выполнении расчетов балансировочных режимов судна.

При решении задач синтеза оптимальной системы стабилизации судна следует использовать весовые матрицы следующего вида:

4.3.Синтез закона управления СВП по заданным собственным частотам

Вслучае, когда к системе стабилизации предъявляются требования по качеству динамики переходного процесса, удобно использовать метод синтеза регулятора по собственным частотам. Пусть математическая модель имеет вид (4.2), а искомый регулятор состояния – (4.3).

Динамика замкнутой системы описывается уравнением

x(t) = Acx(t) =(A − BK )x(t)

и определяется собственными частотами матрицы Ac или корнями характеристического полинома

D(s) = det[sI −(A − BK )]= sn + dn−1(K )sn−1 + + d1(K )s + d0 (K ).

24

Коэффициенты характеристического полинома очевидным образом зависят от вектора коэффициентов регулятора K .

Если требуемое качество динамики задается в виде совокупности собственных частот s01, s02, , s0n , то можно записать желаемый характеристический полином замкнутой системы:

сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, полученных приравниванием коэффициентов желаемого и рассчитываемого характеристических полиномов при одинаковых степенях:

Для скалярного управления система уравнений (4.9) всегда имеет единственное решение, если пара матриц (A, B) управляема. Однако следует за-

метить, что если заданные собственные частоты имеют высокий порядок кратности, то система уравнений становится плохо обусловленной, что приводит к значительным вычислительным трудностям и погрешностям.

Если управляемый объект имеет несколько каналов управления, то система (4.9) будет иметь в m раз больше неизвестных, чем уравнений (m – количество каналов управления). В этом случае задача имеет бесконечное множество решений, в связи с чем применение синтеза по собственным частотам затруднительно.

Постановка задачи синтеза по заданным собственным частотам предполагает выбор вида и корней желаемого характеристического полинома. Для этой цели удобно использовать стандартные характеристические полиномы, имеющие общую форму и разные корни, нормированные по одной (базовой) частоте s0 . Применяются следующие формы стандартных полиномов:

биномиальный полином – Dn (s)=(s + s0 )n ;

полиномы Баттерворта – Dn (s) = n∏2(s2 + 2ζis0 p + s02 ); ζi =sin(π2n).

i=1

25