Материал: Posobie_po_matematicheskoy_statistike_10_05_17

(13)

4. Статистическая проверка гипотезы о предлагаемом теоретическом распределении.

Статистической называют гипотезу (предположение) о виде неизвестного теоретического распределения или о параметрах известного распределения. Выдвигаемую гипотезу называют нулевой или основной и обозначают . Гипотезу, которая противоречит основной, называют конкурирующей или альтернативной и обозначают . Методы проверки гипотез в математической статистике называют критериями.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Рассмотрим критерий Пирсона или критерий (хи-квадрат). Его достоинство состоит в том, что он не критичен к типу проверяемого распределения. В основе критерия положено сравнение наблюдаемых (эмпирических) и теоретических (рассчитанных согласно предполагаемому распределению) частот.

Пусть по выборке получено статистическое распределение:

где – представители интервала, – частоты вариант. Выдвигаем гипотезу , состоящую в том, что изучаемый признак имеет конкретный тип распределения, и записываем функцию распределения . Определяем параметры закона и рассчитываем теоретические частоты для каждого интервала, используя функцию распределения [2]:

(14)

(15)

где – теоретическая вероятность попадания варианты в -ый интервал, и – границы -го интервала. В качестве меры близости теоретического и статистического распределений в случае критерия Пирсона предлагается брать сумму нормированных разностей между частотами и , возведя их предварительно в квадрат для устранения возможности взаимного погашения положительных и отрицательных значений. Полное обоснование критерия Пирсона дается в [2].

Таким образом, для выборки рассчитывается сумма

(16)

где – число интервалов группированной выборки. Значение зависит от выборки и, следовательно, является случайной величиной. Чем меньше , тем лучше согласуются статистическое (эмпирическое) и теоретическое распределения. Гипотеза , утверждающая, что изучаемый признак имеет указанное теоретическое распределение, согласуется с результатами на уровне значимости , если

(17)

и гипотеза отклоняется, если

(18)

где – критическое значение. Для определения критического (или граничного) значения существуют специальные таблицы распределения (прил. 4) .

Пирсон доказал, что при закон распределения случайной величины (16), независимо от того, какому распределению подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения хи-квадрат с -степенями свободы. При этом число степеней свободы находится как, , где - число интервалов группированной выборки, – число параметров теоретического распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное или равномерное, то

(19)

для показательного распределения

(20)

Уровень значимости есть вероятность, с которой основная гипотеза по результатам проверки (17) будет отвергнута. Она выбирается или задается предварительно.

Для расчета значения по группированной выборке составляют табл. 3. При этом следует обратить внимание, чтобы в каждый интервал группированной выборки попало не меньше 6 значений вариант. Если это условие нарушено, то следует или изменить границы интервалов, или объединить соседние. По заданному и найденному числу степеней свободы из прил. 4 находится ; проверяется неравенство (17). Если оно выполняется, то гипотеза о выбранном теоретическом распределении изучаемого признака принимается, в противном случае отвергается и следует выдвинуть новую гипотезу или проверить правильность выбора интервалов группированной выборки.

Таблица 3

Расчет значения