Материал: Lysenko_physics_lek_2
2 З'ясуємо характер дифракційної картини, що буде спостерігатися на екрані, який поміщено за перешкодою (див. рис. 56.1). Внаслідок симетричного розміщення отвору відносно прямої SP освітленість у різних точках екрана буде залежати тільки від відстані r до точки P . У самій цій точці інтенсивність буде досягати максимуму або мінімуму залежно від того, яким – парним або непарним – є число відкритих зон Френеля. Нехай, наприклад, це число дорівнює трьом. Тоді в центрі дифракційної картини буде максимум інтенсивності. Картина зон Френеля для точки P подана на рис. 56.2а). Тепер змістимося по екрану в точку P′. Обмежена краями отвору картина зон Френеля для точки P′ буде мати вигляд, показаний на рис. 56.2б). Краї отвору закриють частину 3-ї зони, одночасно частково відкриється 4-та зона. У результаті інтенсивність світла зменшиться й при деякому положенні точки P′ досягне мінімуму. Якщо зміститися по екрану в точку P′′ , краї отвору частково закриють не тільки 3-тю, але й 2-тю зону Френеля, одночасно частково відкриється 5-та зона (рис. 56.2в). У результаті вплив відкритих ділянок непарних зон переважатиме вплив відкритих ділянок парних зон і інтенсивність досягне максимуму, щоправда, більш слабкого, ніж максимум, який спостерігається в точці P .
Таким чином, дифракційна картина від круглого отвору має вигляд світлих і темних концентричних кілець. У центрі картини буде або світла ( m непарне), або темна ( m парне) пляма (рис. 56.3). Зміна інтенсивності I від відстані r від центра картини зображена на рис. 56.1. При переміщенні екрана паралельно самому собі вздовж прямої SP картини зображення на рис. 56.3 будуть змінювати один одного (згідно з (56.2) при зміні b значення m стають то непарними, то парними).
|
Перешкода |
|
Екран |
r |
r |
|
|
|
P′′ |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
P′ |
|
|
S |
O |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
|
|
||
a |
|
|
I |
I |
|
|
a
б в
Рисунок 56.1 – Схема дифракції на круглому отворі (a) й графіки інтенсивності у випадку непарного (б) й парного (в) чисел відкритих зон Френеля
1 |
1 |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
3 |
|
||
3 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
а |
б |
||
|
|||
Рисунок 56.2 – Картина |
відкритих зон Френеля для точок |
||
P′′(в) . Точки P , P′ і P′′ |
ті ж самі, що й на рис. 56.1 |
|
|
|
116 |
|
|
4
в
P(a) , P′(б) і
Непарне m Парне m
Рисунок 56.3 – Картина, яку отримуємо при дифракції на круглому отворі
Якщо отвір відкриває лише частину центральної зони Френеля, на екрані отримуємо розмиту світлу пляму; чергування світлих і темних кілець у цьому випадку не виникає. Якщо отвір відкриває велику кількість зон, чергування світлих і темних кілець спостерігається лише в дуже вузькій області на межі геометричної тіні; усередині цієї області освітленість виявляється практично рівномірною.
§ 57 Дифракція Френеля на круглому диску. Амплітуда світлового вектора в центрі дифракційної картини. Характер дифракційної картини [5]
1 Помістимо між |
джерелом світла |
S й точкою |
P непрозорий диск радіусом R |
|||||||||||
(див. рис. 57.1). Якщо диск закриє |
m перших зон |
Френеля, |
амплітуда в точці P буде |
|||||||||||
дорівнювати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
æ A |
|
|
A |
ö |
|||
A = A |
- A |
+ A |
|
-... = |
|
m+1 |
+ ç |
|
m+1 |
|
- A |
+ |
m+3 |
÷ +... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m+1 |
m+2 |
m+3 |
|
2 |
è |
|
2 |
|
m+2 |
|
2 |
ø |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Амплітуди сусідніх зон практично однакові. Тому вирази в дужках можна вважати такими,
що дорівнюють нулю. Отже, в центрі дифракційної картини завжди буде максимум
|
|
|
A = Am+1 / 2 |
. |
(57.1) |
2 З'ясуємо характер картини, яку ми отримуємо на екрані. Очевидно, що освітленість може залежати тільки від відстані r до точки P (рис. 57.1). При невеликому числі закритих зон амплітуда Am+1 мало відрізняється від A1 . Тому інтенсивність у точці S буде майже така
сама, як за умови відсутності перешкоди між джерелом S і точкою P . Для точки P′, яка зміщена відносно точки P у будь-якому радіальному напрямку, диск буде перекривати частину (m +1) -ї зони Френеля, одночасно відкриється частина m -ї зони. Це приведе до
зменшення інтенсивності. При деякому положенні точки P′ інтенсивність досягає мінімуму. Якщо зміститися від центра картини ще далі, диск перекриє додатково частину (m + 2) -ї
зони, одночасно відкриється частина (m −1) -ї зони. У результаті інтенсивність зростає й у
точці P′′ досягне максимуму.
Таким чином, у випадку непрозорого диска дифракційна картина має вигляд світлих і темних концентричних кілець, які чергуються. У центрі дифракційної картини знаходиться світла пляма (рис. 57.2). Зміна інтенсивності світла I залежно від відстані r від центра картини зображена на рис. 57.1 б.
Якщо диск закриває лише невелику частину центральної зони Френеля, він зовсім не відкидає тіні – освітленість екрана всюди залишається такою самою, як і за умови відсутності перешкоди. Якщо диск закриває багато зон Френеля, чергування світлих і темних
117
кілець спостерігається тільки у вузькій області на межі геометричної тіні. У цьому випадку Am+1 << A1 , світла пляма в центрі відсутня, і освітленість в області геометричної тіні
практично всюди дорівнює нулю.
|
|
Непрозорий |
Екран |
|
|
|
круглий |
||
|
|
диск |
P′′ |
|
|
R |
|
P′ |
|
S |
O |
P |
||
|
||||
|
|
|||
|
a |
|
b |
I
r
Рисунок 57.1 а – Схема отримання дифракції на диску; б – графік інтенсивності
3 Світла пляма в центрі тіні, що відкидається |
|
|
диском, стала причиною інциденту, який відбувся |
|
|
між Пуассоном і Френелем. Паризька академія наук |
|
|
запропонувала дифракцію світла як тему для |
|
|
отримання премії за 1818 р. Засновники конкурсу |
|
|
були прихильниками корпускулярної теорії світла й |
|
|
розраховували, що конкурсні роботи принесуть |
|
|
остаточну перемогу їх теорії. Однак Френелем була |
|
|
подана робота, у якій всі відомі на той час оптичні |
|
|
явища пояснювалися з точки зору хвильової теорії. |
|
|
Розглядаючи цю роботу, Пуассон, який був членом |
|
|
конкурсної комісії, звернув увагу на те, що з теорії |
Рисунок 57.2 – Картина, яка утворю- |
|
Френеля випливає «безглуздий» висновок: у центрі |
||
ється при дифракції на диску |
||
тіні, яка відкидається невеликим диском, повинна |
знаходитись світла пляма. Араго відразу зробив дослід і з’ясував, що така пляма дійсно існує. Це принесло перемогу й загальне визнання хвильової теорії світла.
§ 58 Дифракція |
Фраунгофера |
на |
щілині. |
Амплітуда й інтенсивність світла, |
||||||
максимуми й мінімуми [5] |
|
|
|
|
|
|
||||
1 Розглянемо |
|
дифракцію |
|
|
|
|
|
P |
||
Фраунгофера на щілині (диф- |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
ракцією |
Фраунгофера |
називають |
|
|
|
|
|
|
||
дифракцію в паралельних про- |
|
|
|
ϕ |
|
|
||||
менях). Візьмемо дуже довгу |
|
|
|
|
|
|||||
вузьку |
прямокутну |
щілину |
|
|
b / N |
ϕ |
|
|
||
шириною b , на яку падає |
|
b |
|
|
|
|
||||
нормально плоска світлова хвиля |
|
|
|
|
|
|
||||
(рис. 58.1). Помістимо за щілиною |
|
|
|
|
|
|
||||
збиральну лінзу, а у фокальній |
|
|
|
|
|
|
||||
площині лінзи екран. Хвильові |
|
|
|
|
|
Екран |
||||
поверхні падаючої хвилі, площина |
|
|
|
|
|
|
||||
щілини |
й екран паралельні один |
Рисунок 58.1 – Схема |
спостереження |
дифракції |
||||||
одному. |
Відповідно |
до принципу |
||||||||
Фраунгофера на щілині |
|
|
||||||||
Гюйгенса-Френеля |
елементарні |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
ділянки відкритої частини хвильової поверхні є джерелами вторинних хвиль, а світлове поле за щілиною знаходиться як результат інтерференції цих когерентних вторинних хвиль. Знайдемо, використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля, амплітуду і інтенсивність світла на екрані як функцію кута відхилення від прямолінійного напрямку поширення ϕ .
Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні на N однакових паралельних краям
щілини елементарних |
зон шириною b / N . Кожна однакова зона створює в |
точці P |
коливання з однаковими амплітудами, які обернено пропорційні числу зон N : |
|
|
|
A = A0 / N |
(58.1) |
(зміст коефіцієнта A0 |
з'ясується далі). Лінза збирає у фокальній площині плоскі хвилі від |
|
елементарних зон, які інтерферують між собою. Різницю ходу для двох сусідніх зон, відстань
між якими b / N , знаходимо з рисунка 58.1: |
= (b / N )sin ϕ . Відповідна |
різниця фаз |
||||||
коливань, що збуджуються у точці P сусідніми зонами, дорівнює |
|
|||||||
|
δ = |
2π |
= |
2π |
bsin ϕ . |
|
(58.2) |
|
|
λ |
λ |
|
|||||
|
|
|
N |
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
3 |
|
6 |
2π − Nδ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Aϕ |
|
|
δ |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Рисунок 58.2 – Векторна діаграма для визначення амплітуди Aϕ суми N
коливань із однаковою амплітудою A , зміщених за фазою одна відносно одної на кут δ . Рисунок виконаний для N =6
Таким чином, у точці P інтерферують N хвиль із однаковою амплітудою A0 / N , які мають зміщення за фазою відносно одна одної на кут δ . Тоді результуюче коливання буде
визначатися сумою коливань, які створюють N елементарних зон: |
|
|
Aϕ cos(ωt + α)= Acos(ωt)+ Acos(ωt + δ)+...+ |
Acos(ωt + (N −1)δ). |
(58.3) |
2 Знайдемо амплітуду результуючого коливання Aϕ |
(58.3), використовуючи метод |
|
векторних діаграм. Згідно з методом векторних діаграм кожне коливання зображується вектором, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кут між напрямком цього вектора та напрямом, який взято за вихідний, дорівнює початковій фазі коливання. Відповідно до (58.3) вектори усіх коливань мають однакову амплітуду A . Початкові фази коливань є різними і відрізняються на одну і ту саму величину, що дорівнює δ . Якщо скласти ці вектори геометрично, то неважко побачити, що вони утворюють частину багатокутника, який вписано в коло радіусом R . З рисунка випливає, що:
A / 2 = R sin(δ / 2),
Aϕ / 2 = Rsin[(2π − Nδ)/ 2] = R sin(π − Nδ / 2)= R sin(Nδ / 2). 119
Виключивши R із цих рівнянь, одержимо співвідношення |
|
||
|
Aϕ = DA sin(Nd / 2) |
, |
(58.4) |
|
sin(d / 2) |
|
|
яке виражає амплітуду Aϕ через амплітуду A й зміщення за фазою δ . |
|
||
3 Коли замість A у формулу (58.4) підставимо вираз (58.1), а замість δ – вираз (58.2), то отримаємо
A = A0 sin[(pb / l)sin j] . |
|
ϕ |
N sin[(pb / Nl)sin j] |
|
|
Цей вираз є наближеним. Він буде тим більш точним, чим меншими будуть елементарні зони, тобто чим більшим буде N . Тоді знаменник набере вигляду
|
ìsin[(pb / Nl)sin j]ü |
×(pb / l)sin j . |
||
lim {N sin[(pb / Nl)sin j]}= lim í |
(pb / Nl)sin j |
ý(pb / l)sin j =1 |
||
N →∞ |
N →∞î |
þ |
|
|
Тут використали, що lim{sin a / a}=1. Таким чином, вираз для амплітуди у точці P можемо
α→0
записати
A |
= A |
sin[(pb / l)sin j] |
|
. |
(58.5) |
|
(pb / l)sin j |
||||||
ϕ |
0 |
|
|
|||
З’ясуємо фізичний зміст константи A0 . Для цього розглянемо вираз (58.5) для
випадку, коли кут ϕ |
прямує до нуля. Використовуючи |
|
lim{sin a / a}=1, знаходимо, що в |
|||
|
|
|
|
|
α→0 |
|
цьому випадку Aϕ |
дорівнює A0 . Звідси випливає, |
що A0 є амплітудою |
усередині |
|||
дифракційної картини (проти центра лінзи). |
|
|
|
|||
Інтенсивність світла пропорційна квадрату амплітуди. Отже, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iϕ = I0 |
sin 2 [(pb / l)sin j] |
. |
(58.6) |
|
|
|
[(pb / l)sin j]2 |
|
|||
де I0 – інтенсивність усередині інтерференційної картини (при ϕ = 0); Iϕ – інтенсивність у точці, положення якої визначається даним значенням ϕ .
4 Проаналізуємо отриманий результат. Як з’ясували вище, коли ϕ = 0, то Iϕ = I0 .
Далі, прирівнюючи чисельник до нуля, знаходимо умову мінімуму інтенсивності
sin 2 [(pb / l)sin j]= 0 , (pb / l)sin j = ±kp (k =1,2,3,...) , |
|
||
тобто |
|
||
|
|
|
|
|
bsin ϕ = ±kλ (k = 1,2,3,...) |
. |
(58.7) |
Таким чином, умова (58.7) визначає положення мінімумів інтенсивності.
Між мінімумами інтенсивності, які визначаються умовами (58.7), знаходяться максимуми різних порядків. Досліджуючи функцію (58.6) на екстремум, можемо знайти їх положення. Наближено можна вважати, що максимуми знаходяться посередині між сусідніми мінімумами.
Графік функції (58.6) зображений на рис. 58.3. Вздовж осі абсцис відкладені значення sin ϕ, осі ординат – інтенсивність Iϕ .
З умови (58.7) випливає, що sin ϕ = ±kλ / b . Модуль синуса не може перевищити одиницю. Тому kλ / b < 1, звідки
k ≤ b / λ . |
(58.8) |
120