Материал: Lysenko_physics_lek_2
суті, зображенням нескінченно віддаленого точкового джерела світла (на отвір падає плоска світлова хвиля).
Дифракційна картина не залежить від відстані між отвором і лінзою. Зокрема, вона буде такою самою і у випадку, коли краї отвору суміщені з краями лінзи. Звідси випливає, що найдосконаліша лінза не може дати ідеального оптичного зображення. Внаслідок хвильової природи світла зображення точки, яка дається лінзою, має вигляд плями, що являє собою центральний максимум дифракційної картини. Кутовий розмір цієї плями зменшується при збільшенні діаметра оправи лінзи.
При дуже малій кутовій відстані між двома точками їх зображення, яке отримуємо за допомогою якого-небудь оптичного приладу, накладаються один на одного й дають одну пляму. Отже, дві дуже близькі точки не будуть сприйматися за допомогою приладу роздільно, або, як кажуть, не будуть розділятися приладом. Тому, яким би великим не було зображення, на ньому не видно відповідних деталей.
Знайдемо роздільну здатність об'єктива зорової труби або фотоапарата для випадку, коли розглядаються або фотографуються дуже віддалені предмети. За цієї умови промені, які йдуть в об'єктив від кожної точки предмета, можна вважати паралельними й користуватися формулою (60.6). Відповідно до критерію Релея дві близькі точки будуть ще розрізнені, якщо середина центрального дифракційного максимуму для однієї точки збігається із краєм центрального максимуму (тобто першим мінімумом) для іншої точки. На рис. 60.3 видно, що це відбудеться, коли кутова відстань між точками δψ буде дорівнювати їх кутовому радіусу
(60.6). Діаметр оправи об'єктива D набагато більше від довжини хвилі λ . Тому можна вважати, що
δψ = 1,22λ / D ≈ λ / D .
Звідки
R ≈ D / λ 
.
Отже, роздільна здатність об'єктива пропорційна його діаметру.
Діаметр зіниці ока при нормальному освітленні дорівнює приблизно 2 мм. Підставивши це значення у формулу (60.8) і взявши λ = 500 нм, отримаємо
dy » 500×10−9 /(2×10−3 ) = 0,25×10−3 рад »1¢ .
Таким чином, мінімальна кутова відстань між точками, які око сприймає ще роздільно, дорівнює одній кутовій хвилині. Цікаво, що відстань між сусідніми світлочутливими елементами сітківки ока відповідає цій кутовій відстані.
(60.9)
Напрямок на 1-шу точку
δψ 
Напрямок на 2-гу точку
Рисунок 60.3 – Якщо |
край |
одного |
максимуму збігається |
із серединою |
|
іншого, точки сприймаються роздільно
§ 61 Дифракція на просторових структурах. Закон Вульфа-Брегга. Рентгенівська спектроскопія. Рентгеноструктурний аналіз [5]
1 Розмістимо дві дифракційні решітки одну за одною так, щоб їх штрихи були взаємно перпендикулярними. Перша решітка (штрихи якої, скажімо, вертикальні) дасть у горизонтальному напрямку ряд максимумів, положення яких визначаються умовою
d1 sin j1 = ±m1l (m1 = 0,1,2,...) . |
(61.1) |
Друга решітка (з горизонтальними штрихами) розіб'є кожний із утворених першою решіткою пучків на розміщені вздовж вертикалі максимуми, положення яких визначаються умовою
d2 sin j2 = ±m2l (m2 = 0,1,2,...) . |
(61.2) |
126 |
|
У результаті дифракційна картина буде мати вигляд правильно розміщених плям, кожній з яких відповідають два цілих індекси m1 й m2 (рис. 61.1).
Таку ж дифракційну картину отримаємо, коли замість двох різних решіток взяти одну прозору пластинку з нанесеними на неї двома системами взаємно перпендикулярних штрихів. Подібна пластинка являє собою двовимірну періодичну структуру (звичайна решітка – одновимірну структуру). Вимірявши кути ϕ1 й ϕ2 , які визначають положення
максимумів, і знаючи довжину хвилі λ , можна знайти за формулами (61.1) і (61.2) періоди структури d1 й d2 . Якщо напрями, у яких структура періодична (наприклад, напрями, які
перпендикулярні до штрихів решіток), утворять кут α , відмінний від нуля, дифракційні максимуми розмістяться не у вершинах прямокутників (як на рис. 61.1), а у вершинах паралелограмів. У цьому випадку за дифракційною картиною можна визначити не тільки періоди d1 і d2 , але й кут α .
− 2;2 |
−1;2 |
0;2 |
1;2 |
2;2 |
|
− 2;1 |
−1;1 |
0;1 |
1;1 |
2;1 |
|
− 2;0 |
−1;0 |
0;0 |
1;0 |
2;0 |
|
− 2;−1 |
−1;−1 |
0;−1 |
1;−1 |
2;−1 |
|
− 2;−2 |
−1;−2 |
0;−2 |
1;−2 |
2;−2 |
|
Рисунок 61.1 – Дифракційна картина від Рисунок 61.2 – Тривимірна |
періо- |
||||
двовимірної періодичної структури |
дична структура (кристал) |
|
|||
Дифракційну картину, аналогічну до зображеної на рис. 61.1, дають будь-які двовимірні періодичні структури, наприклад, система невеликих отворів або система непрозорих маленьких кульок.
Для виникнення дифракційних максимумів необхідно, щоб період структури d був більше λ . У іншому випадку умови (61.1) і (61.2) можуть бути задоволені тільки при значеннях m1 і m2 , які дорівнюють нулю (модуль sin ϕ не може перевищувати одиниці).
Дифракція спостерігається також на тривимірних структурах, тобто просторових системах, які мають періодичність у трьох напрямках, що не лежать в одній площині (рис. 61.2). Подібними структурами є всі кристалічні тіла. Однак їх період (порядку 0,1 нм) занадто малий для того, щоб можна було спостерігати дифракцію у видимому світлі. У випадку кристалів умова d > λ виконується тільки для рентгенівських променів. Уперше дифракція рентгенівських променів на кристалах спостерігалася в 1913 р. у досліді Лауе, Фрідріха й Кніппінга (Лауе належить ідея, іншим авторам – реалізація досліду).
2 Російський учений Вульф і англійські вчені У.Г. і У.Л. Брегги показали незалежно один від одного, що розрахунок дифракційної картини від кристалічної решітки можна здійснити у такий спосіб. Проведемо через вузли кристалічної решітки паралельні рівновіддалені площини (рис. 61.3), які ми будемо називати атомними шарами. Якщо хвиля, яка падає на кристал, є плоскою, то огинаюча вторинних хвиль, що створюються атомами, які лежать у такому шарі, також буде плоскою. Таким чином, сумарну дію атомів, що лежать в одному і тому самому шарі, можна подати у вигляді плоскої хвилі, яка відбилася від атомного шару за звичайним законом відбиття.
Плоскі вторинні хвилі, що відбилися від різних атомних шарів, когерентні й будуть інтерферувати одна з одною подібно до хвиль, які посилаються в цьому напрямку різними щілинами дифракційної решітки. При цьому, як і у випадку решітки, вторинні хвилі будуть
127
практично гасити один одну у всіх напрямках, крім тих, для яких різниця ходу між сусідніми хвилями є кратною λ . На рис. 61.3 бачимо, що різниця ходу двох хвиль, які відбилися від сусідніх атомних шарів, дорівнює 2d sin θ , де d – період кристала в напрямку, перпендикулярному до розглянутих шарів; θ – кут, додатковий до кута падіння, який називають кутом ковзання падаючих променів. Отже, напрями, у яких отримуємо дифракційні максимуми, визначаються умовою
2d sin θ = ±mλ (m = 1,2,...) |
. |
(61.3) |
Це співвідношення називається формулою Вульфа-Брегга (закон Вульфа-Брегга).
θθ
d |
d sin θ |
d sin θ |
|
||
Рисунок 61.3 – Різниця |
ходу |
|
відбитих від двох сусідніх шарів, дорівнює 2d sin θ
II |
II |
II |
II III III |
III |
|
|
|
|
I |
θ |
|
|
|
I |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
I |
хвиль, |
Рисунок 61.4 – Три системи атомних |
атомних |
шарів, які відрізняються густиною |
|
атомів |
Атомні шари в кристалі можна провести великою кількістю способів (рис. 61.4). Кожна система шарів може дати дифракційний максимум, якщо для неї виявиться виконаною умова (61.3). Однак помітну інтенсивність будуть мати тільки ті максимуми, які отримуємо за рахунок відбиття від шарів, які досить густо «засіяні» атомами (наприклад, від шарів I і II на рис. 61.4).
3 Дифракція рентгенівського випромінювання на кристалах застосовується у двох основних випадках. Вона використовується для дослідження спектрального складу рентгенівського випромінювання (рентгенівська спектроскопія) і для вивчення структури кристалів (рентгеноструктурний аналіз).
Визначаючи напрями максимумів, які утворюються при дифракції досліджуваного рентгенівського випромінювання на кристалах з відомою структурою, можна обчислити довжини хвиль. Спочатку для визначення довжин хвиль були використані кристали кубічної системи, причому міжплощинні відстані визначалися з густини й відносної молекулярної маси кристала.
Уметоді структурного аналізу, запропонованому Лауе, пучок «білого» (тобто з різними довжинами хвиль) рентгенівського випромінювання спрямовувався на монокристал. Для кожної системи шарів, досить густо «засіяних» атомами, знаходимо довжину хвилі, для якої виконується умова (61.3). Тому на поміщеній за кристалом фотопластинці утворюється (після проявлення) сукупність темних плям. Взаємне розміщення плям відображає симетрію кристала. За відстанями між плямами й за їх інтенсивностями вдається знайти розміщення атомів у кристалі й відстані між ними. На рис. 61.5 наведена лауеграма берилу (мінералу із групи силікатів).
Уметоді структурного аналізу, розробленому Дебаєм і Шерером, використовуються монохроматичне рентгенівське випромінювання й полікристалічні зразки. Досліджувана речовина подрібнюється в порошок, з якого пресується зразок у вигляді дротинки. Зразок установлюється вздовж осі циліндричної камери, на бічну поверхню якої укладається фотоплівка (рис. 61.6). У величезній кількості хаотично орієнтованих кристаликів знайдеться багато таких, для яких виявиться виконаною умова (61.3). Причому дифрагований промінь
128
для різних кристаликів буде лежати у різних площинах. У результаті для кожної системи атомних шарів і кожного значення m вийде не один напрям максимуму, а конус напрямків, вісь якого збігається з напрямом пучка (див. рис. 61.6). Картина, яку отримаємо на плівці (дебаєграма), має вигляд, як на рис. 61.7. Кожна пара симетрично розміщених ліній відповідає одному з дифракційних максимумів, які задовольняють умову (61.3) при деякому значенні m . Розшифрування рентгенограми дозволяє визначити структуру кристала.
Рисунок 61.5 – Лауеграма берилу
Рисунок 61.6. – Одержання рентгенограми за методом Дебая й Шерера
Рисунок 61.7 – Дебаєграма
ТЕМА 9 ПОЛЯРИЗАЦІЯ СВІТЛА
§ 62 Поляризоване й природне світло. Поляризатор. Ступінь поляризації [5]
1 При вивченні інтерференції й дифракції ми не звертали уваги на поперечність світлових коливань, припускаючи, що коливання мають один і той самий напрямок. Перейдемо тепер до вивчення явищ поляризації світла, тобто таких явищ, які пов’язані з поперечністю електромагнітних хвиль.
129
Світло, у якого напрями коливань упорядковані будь-яким чином, називається
поляризованим.
Якщо коливання світлового вектора відбуваються тільки в одній площині, яка проходить через напрямок поширення променя, то таке світло називається плоско- (або лінійно) поляризованим. Площина, в якій відбуваються коливання світлового вектора,
називається площиною коливань, або площиною поляризації (див. рис. 62.1).
Упорядкованість коливань може полягати й у |
Z |
|||
тому, що |
вектор |
E може обертатися відносно |
||
|
||||
променя, одночасно змінюючись за величиною. У |
X |
|||
результаті |
кінець |
вектора E описує еліпс (див. |
|
|
рис. 62.2). |
Таке |
світло називається еліптично |
r |
|
поляризованим. Якщо кінець вектора E описує коло, |
||||
E |
||||
то таке світло називається поляризованим по колу. |
r |
|
||||||
Зрозуміло, що еліптично поляризоване світло можна |
H |
Y |
||||||
подати |
як |
сукупність |
двох |
взаємно |
|
|||
Рисунок 62.1 – «Моментальна фото- |
||||||||
перпендикулярних |
лінійнополяризованих |
променів |
||||||
світла. |
|
|
|
|
|
графія» плоскої лінійно поляри- |
||
2 У |
природному світлі |
коливання різних |
зованої світлової хвилі, що по- |
|||||
перпендикулярних |
до |
променя |
напрямків |
ширюється вздовж осі Z . Вектор E |
||||
невпорядковано змінюють один одного. Всі напрями |
коливається в площині XZ , вектор |
|||||||
коливань природного світла мають однакову |
H – уздовж осі YZ . Площина XZ – |
|||||||
ймовірність. Таким чином, природне світло можна |
площина поляризації |
|||||||
подати |
як сукупність |
двох |
некогерентних |
|
|
|||
електромагнітних хвиль, які поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах і мають однакові інтенсивності. Таке уявлення про природне світло суттєво спрощує розгляд
проходження природного світла через поляризаційні пристрої. |
|
|
|||
3 Плоскополяризоване світло можна отримати із |
Y |
|
|||
природного за допомогою приладів, які називаються |
|
||||
|
|
||||
поляризатори. Поляризатори вільно пропускають |
|
|
|||
коливання, |
паралельні |
площині, |
яку називають |
|
E |
площиною поляризатора, і повністю або частково |
|
||||
E y |
|
||||
затримують |
коливання, |
які перпендикулярні до цієї |
|
||
площини. Поляризатор, що затримує перпендикулярні |
|
X |
|||
до його площини коливання тільки частково, будемо |
Ex |
||||
називати неідеальним. |
Просто |
поляризатором ми |
|
|
|
будемо називати ідеальний поляризатор, який повністю затримує коливання, перпендикулярні до його площини, і не послабляє коливань, паралельних площині.
На виході з неідеального поляризатора отримуємо світло, у якому коливання одного напрямку переважають над коливаннями інших напрямків. Таке світло називається частково поляризованим. Його можна розглядати як суміш природного й плоскополяризованого. Частково поляризоване світло,
як і природне, можна подати у вигляді накладення двох некогерентних плоскополяризованих хвиль із взаємно перпендикулярними площинами коливань. Відмінність полягає в тому, що у випадку природного світла інтенсивність цих хвиль однакова, а у випадку частково поляризованого – різна.
Зазначимо, що поляризатор, який використовуваний для дослідження характеру поляризації світла, називають аналізатором.
4 Якщо пропустити частково поляризоване світло через поляризатор, то при його обертанні навколо напрямку поширення світлового променя інтенсивність світла на виході
130