Документ: Lysenko_physics_lek_2, страницы 121-125 | Студенческое хранилище

Iϕ

λ

0

λ

−

λ

sin ϕ

−

2 b

− b

b

2 b

Рисунок 58.3 – Дифракційна

картина

від

однієї

щілини

(залежність Iϕ від sin ϕ)

Таким чином, кількість мінімумів інтенсивності визначається відношенням ширини щілини

b до довжини хвилі λ . При ширині щілини, меншій за довжину хвилі, мінімуми взагалі не

виникають. У цьому випадку інтенсивність світла монотонно зменшується від середини

дифракційної картини до її країв.

§ 59 Дифракція

Фраунгофера

на

дифракційних решітках. Амплітуда й

інтенсивність світла, максимуми й мінімуми [5]

1 Дифракційною

решіткою

b

d

називається

оптичний

прилад,

що

складається з великого числа однакових,

= d sin ϕ

віддалених

одна

від

одної

на

однакову

ϕ

відстань щілин (рис. 59.1). Відстань

між

серединами

сусідніх

щілин

називається

періодом решітки.

ϕ

Розмістимо

паралельно

решітці

збиральну лінзу, у фокальній площині якої

P

O

помістимо

екран.

З'ясуємо

характер

дифракційної картини, яка утворюються на

екрані під час падіння на решітку плоскої

Рисунок 59.1 – Схема спектрального приладу

світлової

хвилі

(для

спрощення

з дифракційною решіткою

математичних розрахунків будемо вважати,

що хвиля падає на решітку нормально). Дифракційна картина, яку дає на екрані одна

щілина, нам відома з попереднього параграфа. Дифракційну картину від усіх щілин знайдемо,

використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля.

Будемо припускати, що довжина просторової когерентності хвилі, що падає, набагато

перевищує довжину решітки, так що коливання від усіх щілин можна вважати когерентними.

У цьому випадку результуюче коливання в точці P , положення якої визначається кутом ϕ ,

являє собою суперпозицію

N коливань, які мають однакову амплітуду Aϕ

та зміщені одна

відносно одної за фазою на однакову величину δ . Таким чином,

амплітуда результуючого

коливання від решітки буде визначатися співвідношенням

Aреш cos(ωt + α)= Aϕ cos(ωt)+ Aϕ cos(ωt + δ)+...+ Aϕ cos(ωt + (N −1)δ).

121

Використовуючи метод векторних діаграм, неважко знайти результуючу амплітуду

Aреш (аналогічно, як і в попередньому параграфі):

A

= A

sin(Nd / 2).

реш

ϕ

sin(d / 2)

Зрозуміло, що інтенсивність в цьому випадку буде визначатися такою формулою:

I реш = Iϕ

sin2 (Nd / 2)

.

(59.1)

sin 2 (d / 2)

З рис. 59.1 бачимо, що різниця ходу від сусідніх щілин = d sin ϕ . Отже, різниця фаз

d = 2p D

=

2p

d sin j ,

(59.2)

l

де λ – довжина хвилі у середовищі.

для δ

й вираз для Iϕ (див.

Підставивши у формулу (59.1) (59.2)

попередній

параграф), отримаємо

I реш = I0

sin 2 [(pb / l)sin j]

×

sin 2 [(Npd / l)sin j]

(59.3)

[(pb / l)sin j]2

sin 2

[(pd / l)sin j]

( I0 – інтенсивність, що створюється однією щілиною проти центра лінзи).

2 Проведемо дослідження отриманого результату (59.3). Перший множник у (59.3)

перетворюється в нуль у точках, для яких
bsin ϕ = ±kλ (k = 1, 2, 3, ...) .	(59.4)

У цих точках інтенсивність, яка створюється кожною із щілин окремо, дорівнює нулю. Вираз

(59.4) визначає умову мінімумів дифракційної решітки.

Коли d sin ϕ = ±mλ (m = 0, 1, 2, ...) , то чисельник та знаменник другого множника

стають такими, що дорівнюють нулю. Тобто вираз (59.3) стає невизначеним. Розкриваючи невизначеність за допомогою правила Лопіталя, отримуємо

lim

æ sin[(Npd / l)sin j]ö

=

æ sin(Nx)ö

=

æ

(sin(Nx))¢x

ö

=

ç

sin[(pd / l)sin j]

÷

lim ç

sin(x)

÷

lim ç

¢

÷

d sin ϕ→mλç

÷

x→mπç

÷

x→mπç

÷

è

ø

è

ø

è

sin(x) x

ø

æ	N cos(Nx)ö			N cos(Nmp)		N ×1
= lim ç		÷	=		= ±		= ±N .
	cos(x)			cos(mp)
ç		÷				1
x→mπè		ø

Це означає, що другий множник у (59.3) набуває значення N 2			в точках, що задовольняють
умову

	d sin ϕ = ±mλ (m = 0, ,1, 2, ...)	.	(59.5)

З фізичної токи зору це означає, що для напрямків, які визначаються умовою (59.5), коливання від окремих щілин взаємно підсилюють одна одну, внаслідок чого амплітуди коливань у відповідній точці екрана додаються:

	Amax = NAϕ ,	(59.6)
де Aϕ – амплітуда коливання, що утворюється однією щілиною під кутом ϕ .
Умова (59.5)	визначає положення максимумів інтенсивності, які називаються
головними. Число m	дає порядок головного максимуму.

Піднісши рівність (59.6) у квадрат, отримаємо, що інтенсивність Imax у N 2 раз більше від інтенсивності Iϕ , яка створюється у напрямку ϕ однією щілиною:

122

Imax = N 2 Iϕ .

(59.7)

Зрозуміло, що коли умови (59.5) та (59.4) збігаються, то має місце мінімум інтенсивності. Це пов’язано з тим, що в цьому випадку інтенсивність від кожної щілини дорівнює нулю. Сума нульових інтенсивностей дасть також нульову інтенсивність.

Крім мінімумів, що обумовлені співвідношенням (59.4), у проміжках між сусідніми головними максимумами є N −1 додаткових мінімумів. Вони виникають у тих напрямках, для яких коливання від окремих щілин взаємно гасять один одного. Умову додаткових мінімумів можна легко знайти, прирівнявши чисельник другого множника (59.3) до нуля:

sin[(Npd / l)sin j] = 0.

Звідси знаходимо умову додаткових мінімумів
	d sin j = ±	k′	l	(59.8)

		N

( k′ = 1, 2, ..., N −1, N +1, 2N −1, 2N +1, ...). У формулі (59.8) k′ набуває всіх цілих значень,

крім 0, N, 2N, ..., тобто крім тих, за яких умова (59.8) переходить в (59.5).

І

æ	- 2		l ö
ç	- 2		÷
è			b ø
- 6		λ	- 5 l
		d	d

æ	-	l ö
ç	-	÷
è		b ø

- 4 dl - 3 dl - 2 ld - ld

-	l	+	l
	Nd		Nd

0		l
		d
æ	-	1	ö l
ç1	-	N	÷
è		N	ø d

	æ	l ö		æ	2	l ö
	ç	b	÷	ç	2		÷
	è	b	ø	è		b ø
l		l	l	l		l	sin ϕ
2 d		3 d	4 d	5 d	6 d
æ	+	1 ö l
ç1	+	÷
è		N ø d

Рисунок 59.2 – Дифракційна картина від решітки для N = 4 й d / b = 3. Штриховою лінією показана інтенсивність Iϕ від однієї щілини, яка помножена на N2. Головні максимуми 3-го й 6-го порядків збіглися з мінімумами інтенсивності від однієї щілини

Між додатковими мінімумами розміщені слабкі вторинні максимуми. Число таких максимумів, що знаходяться на проміжку між сусідніми головними максимумами, дорівнює

N − 2 .	N = 4 та	d / b = 3. Штрихова лінія,
На рис. 59.2 наведений графік функції (59.3) для	N = 4 та	d / b = 3. Штрихова лінія,
що проходить через вершини головних максимумів,	зображує	інтенсивність від однієї

щілини, яка помножена на N 2 (див. (59.7)). При d / b = 3 головні максимуми 3-го, 6-го й т.д. порядків збігаються з мінімумами інтенсивності від однієї щілини, внаслідок чого ці максимуми зникають.

Кількість головних максимумів, які можливо спостерігати, визначається відношенням періоду решітки до довжини хвилі. Виходячи з того, що модуль sin ϕ не може перевищити

одиниці, з формули (59.5) отримуємо

m ≤ d / λ .

(59.9)

123

§ 60 Дисперсія і роздільна здатність дифракційних решіток. Роздільна здатність об'єктива [5]

1 Дисперсія дифракційної решітки. Відомо, що дифракційна решітка, як і призма, розкладає світло в спектр. Характеристиками спектрального приладу є його дисперсія й роздільна здатність. Дисперсія визначає кутову (або лінійну) відстань між двома спектральними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на одиницю (наприклад, на 1 нм).

Кутовою дисперсією називається величина

D = δϕ / δλ

,

(60.1)

де δϕ – кутова відстань між спектральними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на

δλ .

Лінійною дисперсією називають величину

Dлин = δl / δλ ,

де δl – відстань на екрані або на фотопластинці між спектральними лініями, довжини хвиль яких відрізняються на δλ .

Щоб знайти кутову дисперсію дифракційної решітки, продиференціюємо умову головного максимуму за ϕ :

d sin ϕ = mλ ,
вважаючи, що λ = λ(ϕ) є функцією від ϕ . Опустивши знак мінус, отримаємо
d cosϕ = m(δλ / δϕ) .
Звідси
D = δϕ / δλ = m /(d cosϕ) .
У межах невеликих кутів cosϕ ≈1, тому можна вважати
		.	(60.2)
	D ≈ m / d

Таким чином, кутова дисперсія дифракційної решітки обернено пропорційна періоду d . Чим вище порядок спектра m , тим більше дисперсія.

2 Роздільна здатність дифракційної решітки. Роздільна здатність визначає мінімальну різницю довжин хвиль δλ , при якій дві лінії сприймаються в спектрі роздільно.

Роздільною здатністю спектрального приладу називають безрозмірну величину

R = λ / δλ

,

(60.3)

де δλ – мінімальна

різниця

довжин

хвиль двох

спектральних ліній,

при якій ці

лінії

сприймаються роздільно.

Можливість роздільного сприйняття двох близьких

спектральних ліній залежить не тільки від відстані між

ними (яке визначається дисперсією приладу), але також і

від ширини спектрального максимуму. На рис. 60.1

показана

результуюча

інтенсивність (суцільні

криві),

яка

а

б

спостерігається при накладенні двох близьких максимумів

Рисунок 60.1 а –

Дві близькі

(штрихові

криві).

У

випадку

a

обидва

максимуми

спектральні

лінії

зливаються

сприймаються як один. У випадку б

між максимумами

в одну; б – якщо край одного

лежить мінімум. Два близьких максимуми сприймаються

максимуму

збігається

із

оком роздільно

в

тому випадку,

якщо

інтенсивність у

серединою іншого, спектраль-

проміжку

між

ними

становить

не

більше

80

%

від

ні лінії сприймаються роз-

інтенсивності

максимуму.

Відповідно

до

критерію,

дільно

запропонованого

Релеєм,

таке

співвідношення

124

інтенсивності має місце в тому випадку, якщо середина одного максимуму збігається із краєм іншого (рис. 60.1б). Таке взаємне розміщення максимумів має місце при певному (для даного приладу) значенні δλ .

Знайдемо роздільну здатність дифракційної решітки. Положення середини m -го максимуму для довжини хвилі λ + δλ визначається умовою

d sin ϕmax = m(λ + δλ) .

Краї m -го максимуму для довжини хвилі λ розміщують під кутами, обумовленими співвідношенням

d sin ϕmin = (m ±1/ N)λ .

Середина максимуму для довжини хвилі λ + δλ збігається з краєм максимуму для довжини хвилі λ в тому випадку, коли

m(λ + δλ) = (m +1/ N)λ .

Звідси

mδλ = λ / N .

Знайшовши із цієї рівності відношення λ до δλ , отримаємо вираз для роздільної здатності дифракційної решітки

	R = mN	.	(60.4)
Таким чином, роздільна здатність дифракційної решітки пропорційна числу щілин			N і
порядку спектра m .

Дифракційні решітки виготовляються шляхом нанесення алмазним різцем на поверхню скляної пластинки рівновіддалених штрихів. Роль щілин відіграють проміжки між

штрихами. Кращі решітки мають до 1200 штрихів на 1 мм ( d ≈ 800 нм).

3 Роздільна

здатність

об'єктива.

Роздільною здатністю об'єктива називається

величина

R , зворотна найменшій кутовій

відстані δψ між точками,

при якій вони ще

сприймаються роздільно:

R = 1/ δψ

.

(60.5)

На рис. 60.2 показана картина дифракції

I

Фраунгофера на круглому отворі. Вона має

вигляд центральної світлої плями, оточеної

темними й світлими кільцями, які чергуються

між собою. Відповідний розрахунок показує, що

перший мінімум віддалений від центра

−1,22

λ

0

1,22

λ

sinϕ

дифракційної картини на кутову відстань

D

ϕmin = arcsin(1,22λ / D) ,

(60.6)

де D – діаметр отвору. Коли

D >> λ , то можна

Рисунок 60.2 – Плоска

світлова

хвиля

вважати, що

падає перпендикулярно на перешкоду із

ϕmin =1,22λ / D .

(60.7)

круглим отвором. Унизу показана інтен-

Переважна

частина

(близько

84%)

сивність світла на екрані, розміщеному у

фокальній площині лінзи

світлового

потоку,

що проходить

через

отвір,

потрапляє в область центральної світлої плями.

Інтенсивність першого світлого кільця становить усього 1,74%, а другого – 0,41 % від інтенсивності центральної плями. Інтенсивність інших світлих кілець ще менше. Тому в першому наближенні дифракційну картину можна вважати такою, що складається з однієї лише світлої плями з кутовим радіусом, яка визначається формулою (60.6). Ця пляма є, по

125

Материал: Lysenko_physics_lek_2

Смотрите также: