Материал: LS-Sb90926

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1.3.Расчет температурных полей с использованием S-функций

1.3.1.Температурное поле в пластине. Постановка задачи

При двухстороннем симметричном индукционном нагреве стальных листов, ширина которых в пять и более раз превосходит толщину, плотность тока постоянна по всей поверхности, за исключением углов. Температурное поле в средней части пластины описывается одномерным уравнением теплопроводности

	x	0
	β	0
	β	0
	1	0
	1
	R0
	d
	Рис. 1.6

∂θ −

∂2θ

= Ki w (α, β) ,

(1.18)

∂τ

∂β2

где β = 2 x d

–

относительная

координата; d – толщина

пластины. Точка x = 0

(β = 0)

лежит на поверхности пла-

стины, а точка

x = d 2

(β = 1)

–

в центре поперечного се-

чения пластины (рис. 1.6). Напомним, что

Ki =

p0 (τ)d

p0 (τ) R0

;

2λ (T0 − Tн )

λ (T0 − Tн )

τ =

4at

;

= d 2 .

Функция w (α, β) зависит от режима нагрева. В холодном режиме нагрева, когда металл пластины еще обладает магнитными свойствами,

где α1 = 2 x1 d ; x1 = 1, 46 e .

В промежуточном режиме распределение внутренних источников тепла приближается к ступенчатой форме:

где α 2 = 2ξd = ξ R0 , R0 = d 2 , ξ – глубина активного слоя с внутренними источниками. Параметр α2 может изменяться в интервале 0...0, 5 ; α2 = 0, 5 – предельное значение при индукционном нагреве пластин.

В горячем режиме нагрева, когда толщина слоя, прогретого выше точки магнитных превращений, больше глубины проникновения электромагнитного поля, распределение внутренних источников тепла имеет вид

		h ch (1 − β) h − cos (1 − β) h
	w =			,

	3		sh h − sin h

где h = α3 = d ,	– глубина проникновения поля в немагнитный металл.
При любом	распределении		внутренних источников тепла wi (αi , β)

(i = 1, 2, 3) и нулевом начальном условии температурное поле в пластине пропорционально переходной характеристике θi (β, τ) = Ki ϕi (αi , β, τ, Bi) .

Если (1.18) решать при адиабатических краевых условиях ( Bi = 0 ), то ϕi (αi , β, τ) = τ + Si (αi , β, τ) . Все S -функции протабулированы. При ярко выраженном поверхностном эффекте, когда частота тока столь велика, что α1 → 0 , α2 → 0 , h → ∞ , значения всех S -функций совпадают: S1 (0, β, τ) =

= S2 (0, β, τ) = S3 (∞, β, τ) = S0 (β, τ) . Функция S0 (β, τ) описывает температурное поле в пластине при воздействии внешнего теплового потока.

В качестве примера определения S -функций рассмотрим промежуточный режим нагрева пластины. Функция внутренних источников тепла w (α, β) определена формулами (1.19). Индекс 2 в примере опущен. Уравнение теплопроводности в этом случае приобретает вид

∂θ − ∂2θ = Ki w (α, β) . ∂τ ∂β2

Решением его будет равенство θ(β, τ) = Ki ϕ(α, β, τ) , где Ki = Ki (0) = Ki0 и ϕ удовлетворяет уравнению

∂ϕ	−	∂2ϕ	= w (α, β)	(1.20)
∂τ		∂β2
с начальным условием ϕ (0) = 0	и граничными условиями второго рода на

поверхности (вследствие адиабатического характера процесса) и в плоскости

симметрии соответственно:	∂ϕ		= 0	,	∂ϕ	= 0 . Решение уравнения
	∂β				∂β
		β=0				β=1

(1.20) будем искать в виде ряда Фурье

	a0 (τ)
ϕ (β, τ) =		+ ∑ an (τ)cos nπβ ,	(1.21)
ϕ (β, τ) =	2	+ ∑ an (τ)cos nπβ ,	(1.21)
	2	n=1

где a0 (τ) и an (τ) – неизвестные функции; nπ – собственные числа; cos nπ – собственные функции задачи. Форма записи (1.21) удовлетворяет граничным

условиям. С целью определения a0 (τ) и an (τ)

правую часть (1.20) разлага-

ем в ряд Фурье w (α, β) =

∞

+ ∑ bn cos nπβ , где

n=1

= ∫ w dβ = ∫

dβ = 1;

(1.22)

2sin nπα

bn = 2∫ wcos nπβdβ = 2 ∫

cos nπβ =

nπα

Подставляя в уравнение (1.20) члены нулевого порядка из рядов (1.21) и

d (a0

(1.22), находим

− 0

= 1,

= τ + const,

= τ , где const = 0 из-за

dτ

начального условия. Аналогично, для n-го члена получаем:

dan cos nπβ + an (nπ)2 cos nπβ = bn cos nπβ dτ

или


			dan	+ a		(nπ)2 = b .
				+ a		(nπ)2 = b .
			dτ		n		n
			dτ
Решение дифференциального уравнения такого рода при нулевых крае-
вых условиях известно:	a =		bn		1− e−n2π2τ		. Теперь решение (1.21) приоб-
вых условиях известно:	a =				1− e−n2π2τ		. Теперь решение (1.21) приоб-
	n	n2π2
		n2π2

ретает вид

ϕ (α, β, τ) = τ +

∞

sin nπα

−n2π2

∑

cos nπβ 1 − e

(1.23)

απ3 n=1

Второе слагаемое правой части (1.23) называют S-функцией, т. е.

S (α, β, τ) =

∞ sin nπα

−n2π2τ

∑

cos nπβ

− e

απ3 n=1

1.3.2. Понятие регулярного режима нагрева

Из (1.23) видно, что уже при τ = 0,35 значение e−π2 0,35 ≈ 0,03 пренебрежимо мало по сравнению с единицей. Следовательно, при τ > τp = 0,35

наступает режим, при котором S-функция перестает зависеть от τ , а переходная характеристика начинает линейно зависеть от τ . Этот режим называют регулярным. Решение в нем может быть записано как θ = Ki0ϕp =

		, где
= Ki0	τ + S p (α, β)	, где
		S p (α, β) =	2	∞	sin nπα
				∑		cos nπβ	(1.24)
				∑	n3	cos nπβ	(1.24)
			απ3 n=1		n3

от τ не зависит.

При τ → ∞ внутренний тепловой поток не зависит от времени. Так как теплоотдача во внешнюю среду отсутствует (процесс адиабатический), то постоянство теплового потока приводит к линейному росту температуры во всех точках тела с постоянной скоростью (рис. 1.7). В частности, температура поверхности θп и центра θц пластины при τ > τp растет линейно (рис. 1.8).

θ
		∂θ	= 0
		∂β	= 0
			β=0,1
0	1	β
	Рис. 1.7

θ		θп
θ

		θц










		τ







0	τp
	Рис. 1.8

Примером адиабатического процесса можно считать нагрев в индукторе с идеальной тепловой изоляцией. Если нет тепловых потерь с поверхности нагреваемой заготовки, то Bi = (α0 R )λ = 0 , что возможно, в частности, когда коэффициент теплоотдачи с нагреваемой поверхности α 0 = 0 (не путать с

характеристикой поверхностного эффекта α = R ). В этом случае lim θ = ∞ .

τ→∞

S(α,β,τ)				Таким образом, при t ³ tp в регу-
S(α,β,τ)				Таким образом, при t ³ tp в регу-
	β = 0		Spп	лярном режиме ϕ(α, β, τ) = τ + Sp (α, β) =
				= ϕp (α, β, τ) и	S p (α, β) не зависит от

	β < 1		Sp






				времени (рис. 1.9). При τ = 0 все S , в том








0	β = 1		τ	числе S p , равны нулю, так как ϕ = 0 .
			Spц	В зоне регулярности решение (1.13)










	Рис. 1.9			принимает вид
	θ p	= Ki0ϕ p (α, β, τ > τ p ) = Ki0 τ + S p (α, β) .

Это уравнение прямой θp = θp (τ) . Скорость роста температуры одинакова во всех точках сечения тела:

	∂θp	= Ki0 .	(1.25)

	∂τ
В регулярном режиме уравнение теплопроводности с учетом (1.25) при-
нимает вид
Ki0 - Ñ2q = Ki0w(a, b) .			(1.26)

Для одномерных полей (1.26) имеет простые аналитические решения при любых видах функции w (α, β) . Для всех режимов нагрева S-функции определены и протабулированы: ϕ (αi , β, τ) = τ + Si (αi , β, τ) , i = 1, 2, 3. При ярко выраженном поверхностном эффекте, когда частота тока столь велика, что α1 → 0 , α2 → 0 , h → ∞ , значения всех S -функций совпадают:

S1 (0, β, τ) = S2 (0, β, τ) = S3 (∞, β, τ) = S0 (β, τ) .

Функция S0 (β, τ) описывает температурное поле в пластине при воздей-

ствии внешнего теплового потока. Ряд (1.24) плохо сходится. Его сходимость можно улучшить, рассмотрев отдельно регулярный режим. В этом случае уравнение для переходной характеристики jp = τ + S p (α, β) определяется подстановкой ее в (1.20):

1 - d 2jp db2 = w (a, b) .

Для решения используются нулевые граничные условия ∂ϕ p = 0 .

∂β β=0;1

w1 (α1, β) =

при 0 ≤ β ≤ α1;

w1 (α1, β) =

при 0 ≤ β ≤ α1;

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'iПрезентация'
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология