Материал: LS-Sb90926
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
–––––––––––––––––––––––––––––––––
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В. В. ЦАРЕВСКИЙ А. Ю. ПЕЧЕНКОВ С. А. ГАЛУНИН
ЧАСТНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕПЛООБМЕНА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
Электронное учебное пособие
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2013
УДК 621.365.63 (075) ББК З 292.3я7
Ц18
Царевский В. В., Печенков А. Ю., Галунин С. А.
Ц18 Частные вопросы теплообмена теплопроводностью при индукционном нагреве: электронное учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2013. 48 с.
ISBN 978-5-7629-1458-1
Cодержит материал, отсутствующий или недостаточно освещенный в рекомендуемой литературе по дисциплинам «Индукционный нагрев» и «Энергоаудит». Рассмотрение аналитических методов исследования процессов управления сквозным нагревом доведено до математических соотношений, удобных при практических расчетах с помощью программ типа MathCad.
Предназначено для подготовки бакалавров, обучающихся по направлению 140400 – «Электроэнергетика и электротехника», а также может быть полезно инженерно-техническим работникам и студентам других специальностей.
УДК 621.365.63 (075) ББК З 292.3я7
Рецензенты: кафедра электротехники и электротехнологий СПбГПУ; канд. техн. наук В. С. Федорова (ПГУПС).
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве электронного учебного пособия
ISBN 978-5-7629-1458-1 |
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2013 |
|
3 |
ВВЕДЕНИЕ
Теоретической моделью процесса высокочастотного нагрева являются уравнения Максвелла, теорема Гаусса в применении к электрическому полю, распространенная с помощью постулата Максвелла на любые (в том числе неоднородные) среды, а также принципы непрерывности магнитного потока и электрического тока. Физическая сущность уравнений Максвелла лучше раскрывается при представлении их в интегральной форме.
Для определения электромагнитного поля в каждой точке пространства уравнения Максвелла, постулат Максвелла и принципы непрерывности магнитного потока и электрического тока представляются в дифференциальной форме. Далее приводятся уравнения Максвелла в дифференциальной форме, которые используются для моделирования индукционного нагрева проводниковых материалов:
rot H = δ; rot E = - |
∂B ; div D = r; div B = 0; |
(В.1) |
|
¶t |
δ = J; D = ee0E; B = mm0H; J = gE.
Уравнение, определяющее принцип непрерывности линий тока для системы (В.1), является избыточным, поскольку δ = rot H , div δ = div (rot H ) = 0 , так
как расхождение вихря любого вектора тождественно равно нулю.
В ряде случаев вместо системы (В.1) уравнений первого порядка удобнее решать уравнение второго порядка относительно напряженности магнитного поля H . Если для кусочно-непрерывной среды в пределах непрерывности считать µ и g постоянными, то можно записать:
rot H = δ = J = γE ; rot (rot H ) = γ rot E |
; g rot E = -g |
∂B = -gmm0 |
∂H ; |
||||
|
|
1 |
|
¶t |
1 |
|
¶t |
rot (rot H) = grad (div H) - Ñ2H ; div H = |
|
div (mm0H) = |
div B = 0 ; |
||||
|
|
|
|||||
|
|
mm0 |
|
mm0 |
|
||
rot (rot H) = -Ñ2H ; -Ñ2H = -gmm0 ∂¶H . t
Таким образом, получаем искомое уравнение Ñ2H - gmm0 (¶H
¶t ) = 0 .
Аналогичным образом можно получить уравнение относительно напряженности электрического поля. Предлагаем читателю решить эту задачу самостоятельно.
4
1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
1.1. Температурное поле движущихся источников тепла
1.1.1. Баланс тепловой энергии в «точке»
Перенос теплоты происходит за счет теплопроводности, конвекции, излучения или комбинации этих способов. Теплопроводность – перенос теплоты, обусловленный неоднородным распределением температуры, посредством движения микрочастиц в среде. Конвекция – перенос теплоты макроскопическими элементами среды при их перемещении. Излучение – процесс распространения теплоты электромагнитными волнами (фотонами), обусловленный температурой и физическими свойствами излучающего тела.
Температурное поле имеет скалярную T ( x, y, z, t ) и две векторные характеристики: q ( x, y, z, t ) , называемую плотностью теплового потока, и grad T , определяющую значение и направление максимальной скорости ро-
|
|
|
T + |
T |
|
|
ста температуры. Полагая T ( x, y, z, t |
) = |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
, получим непересекающи- |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T − |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еся изотермические поверхности, каждая из которых имеет одну и ту же температуру (T + T , T , T − T и т. д.). Если в какой-либо точке M изотермической поверхности (рис. 1.1) провести к ней нормаль n в сторону роста температуры, то можно определить градиент температурного поля
grad T = |
∂T n |
|
= ÑT = i |
∂T + j |
∂T + k |
∂T , |
|||
¶n |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
¶x |
¶y |
¶z |
|||
где i, j, k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат. Векторная характеристика температурного поля – плотность теплового потока q – в выбранной точке направлена по той же нормали в сторону максимальной скорости уменьшения температуры и определяется законом теплопроводности Фурье
q = -l grad T = -l |
∂T |
|
|
n |
|
|
, |
(1.1) |
¶n |
|
n |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где λ – коэффициент теплопроводности среды. Если выбранную точку M окружить замкнутой поверхностью S , ограничивающей объем V , то поток тепла через эту поверхность можно определить как ΔΦ = ∫
S
Здесь подынтегральное выражение – скаляр (размерность Вт/м3). Плотность истока теплового потока в объеме V при V → 0 бу-
дет равна дивергенции плотности теплового потока генции)
S |
M |
grad T |
n |
|
|
|
|
|
q |
V |
|
|
T |
T + T |
T – |
|
|
T |
|
|
|
Рис. 1.1 |
|
(по определению дивер-
lim |
|
∫ |
|
|
|
||
|
q dS V = div q . |
||
V →0 |
S |
|
|
Если ввести понятие напряженности температурного поля ET = − grad T , то закон Фурье (1.1) принимает вид q = λE и становится аналогичным закону Ома для проводящей среды в электрическом поле δ = γE , где δ – плотность электрического тока, E – напряженность электрического поля, γ – удельная электропроводность. Поскольку rot ET = −rot (grad )T = 0 , поле температуры
потенциально и T – скалярный потенциал.
Баланс тепловой энергии «в точке» ( V → 0 ) определяется законом сохранения энергии. За время t единицей объема среды потреблено энергии Q1 = w0 t, где w0 – внутренние сторонние источники тепла. Часть потребленной энергии расходуется для подъема температуры на T : Q2 = cV T , где cV – объемная удельная теплоемкость. Остальная потребленная энергия «истекает» из единичного объема. Ее можно определить следующим образом: Q3 = div q t . В результате получается баланс тепловой энергии «в точке» Q1 = Q2 + Q3 , или
w0 t = div q t + cV T . |
(1.2) |
1.1.2. Дифференциальные уравнения для движущегося источника
Рассмотрим конкретный пример. Вдоль цилиндрической детали (вала) Д (рис. 1.2, а) перемещается кольцевой индуктор И со скоростью v = iv . Распределение внутренних источников тепла, наведенных в детали индуктором,
6