Материал: LS-Sb90926

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

не зависит от скорости перемещения индуктора. В неподвижной системе координат, связанной с деталью, дифференциальное уравнение для движущегося источника имеет вид

0' 0

y' y

	′ ′ ′
cv	∂T ( x , y , z ,t )	′ ′ ′	(1.3)
		′ ′ ′
	∂t	− div (λ gradT ( x , y , z , t)) .
	∂t

Это уравнение логично получить из

ИД (1.2) путем деления левой и правой ча-

x' x

v M

w0 T

v = 0

стей на t и предельного перехода при

	′ ′ ′	)	то источ-
t → 0 . Если w0 = w0 ( x , y , z
ники движутся, не меняя формы.
В подвижной системе координат,
связанной с	индуктором,		x = x′ − vt ,
w0 = w0 ( x, y, z ) ,	T = T ( x, y, z, t ), т. е. тем-

		x	пература является сложной функцией ко-
T			ординат и времени. Из курса высшей ма-
w0 T			ординат и времени. Из курса высшей ма-
			тематики известно, что частная произ-
	v > 0
	v > 0
			водная сложной функции равна сумме
w0			водная сложной функции равна сумме
		x	произведений частной производной за-


Рис. 1.2			данной функции по промежуточным ар-

гументам на частные производные этих аргументов по соответствующей независимой переменной. В данном случае промежуточным аргументом является x = x′ − vt , а соответствующим независимым аргументом будет t . Таким образом, получаем:

∂T ( x′, y′, z′,t )

∂T ( x, y, z,t )

∂t

∂x

∂t

∂T ( x, y, z,t)

(−v) =

∂T ( x, y, z,t )

− v

∂T ( x, y, z,t )

(1.4)

∂x

∂t

∂x

После подстановки нового значения (1.4) частной производной в урав-

нение (1.3) и замены координат получим искомое уравнение:

∂T ( x, y, z, t )

− v

∂T ( x, y, z, t )

− div (λ grad T ( x, y, z, t )) =

∂t

∂x

= w0 ( x, y, z, t ) .

(1.5)

Температурное поле в детали (рис. 1.2, б) «сжимается» перед индуктором и «растягивается» за ним. Деформация температурного поля обусловлена поступлением справа в зону распределения источников холодного материала детали со скоростью движения индуктора. В предельном случае (при v = 0 ) уравнение (1.5) вырождается в нестационарное дифференциальное уравнение теплопроводности в нелинейной среде

c	∂T = div (λ grad T ) + w .		(1.6)
v	∂t	0

Если система координат испытывает трансляционное (поступательное) перемещение по отношению к телу и вектор скорости перемещения имеет три составляющие в перемещающейся системе координат, то уравнение (1.6) приобретает иной вид. В этом случае изменение температуры за интервал времени dt , которое наблюдается в точке M = M ( x, y, z, t ) этой подвижной

системы, равно	∂T	и складывается из двух составляющих. Первая со-
системы, равно	dt	и складывается из двух составляющих. Первая со-
	∂t

ставляющая – изменение температуры с течением времени в неподвижной точке пространства, вторая – изменение температуры, обусловленное перемещением наблюдателя, жестко связанного с подвижной системой координат. За время dt наблюдатель переместится на расстояние ds = vdt , в результате чего попадет в точку с другим значением температуры. Эта вторая составляющая имеет значение ds grad T = (v grad T )dt , где v – вектор скорости

подвижной координатной системы по отношению к телу; grad T – локальный температурный градиент. При выводе уравнения теплопроводности, основанном на составлении теплового баланса, для элемента объема тела учитывается только первая составляющая, поэтому из наблюдаемого изменения

температуры	∂T	в точке М нужно вычесть приращение (v grad T )dt ,
температуры	dt	в точке М нужно вычесть приращение (v grad T )dt ,
	∂t

возникшее в результате движения системы координат. Таким образом, в системе координат, совершающей трансляционное перемещение со скоростью v , уравнение теплопроводности принимает следующий вид:

			∂T (M , t)	− v grad T (M , t ) =
				− v grad T (M , t ) =
			∂t
=	1	div (λ grad T (M , t )) +			1	w0 , M V , t > 0 .	(1.7)
=		div (λ grad T (M , t )) +				w0 , M V , t > 0 .	(1.7)
	cv				cv
			8

Случай, когда система координат совершает не только трансляционное (поступательное), но и вращательное перемещение, характеризуется вектором угловой скорости ω . Если v – вектор скорости рассматриваемой точки относительно неподвижной системы координат, то можно записать известное из динамики твердого тела соотношение v = v0 + [ω× r] , где v0 – вектор скорости поступательного перемещения начала координат; r – радиус-вектор точки M в подвижной системе; [ω× r] = (ωy z − ωz y ) i + (ωz x − ωx z ) j +

+ (ωx y − ωy x) k (ωy z − ωz y ) i + (ωz x − ωx z ) j + (ωx y − ωy x) k – векторное про-

изведение.

Уравнение теплопроводности (1.7) принимает следующий вид:

T (M , t ) − v grad T (M , t ) − [ω× v]grad T (M , t ) = t

= 1 div (λ grad T (M , t )) + 1 w0.
cv	cv

Это уравнение можно использовать, например, при моделировании непре- рывно-последовательной закалки валиков. Для достижения равномерного нагрева валики вращают при поступательном перемещении относительно индуктора.

1.1.3. Квазистационарный режим.

Быстродвижущийся источник тепла

Если w0 от времени не зависит, то после переходного процесса наступает квазистационарный режим. Система координат здесь привязана к полю источников. Уравнение (1.7) упрощается ( ¶T ¶t = 0 ):

w	( x, y, z) = −c v ∂T − div (λ grad T ) .		(1.8)
0	v	∂x
		∂x

Это дифференциальное уравнение квазистационарного режима. Для системы координат, связанной с источниками, v = const и v ¹ dxdt .

Если v = 0 (источники неподвижны), то (1.8)	переходит в уравнение
Пуассона
div (λ grad T ) = −w0 ( x, y, z ).	(1.9)

В линейной среде ( λ = const ) уравнение (1.9) можно преобразовать к ви-

ду Ñ2T = - w0 ( x, y, z) . Решением уравнения (1.8) будет стационарное темпе- l

ратурное поле T = T ( x, y, z ) .

Плотность теплового потока qx , обусловленного градиентом температуры относительно оси X , и плотность теплового потока qw , обусловленного внутренними источниками теплоты, можно найти с помощью соотношений

qx = −λ ∂T и qw = w0vtн . В качестве критерия быстрого движения источника

∂x

(индуктора) принимается отношение

k p =

w0vtн

¶T

где t

lи

l ¶x

>> 1,

; l –

длина индуктора.

Если

то источники считаются

быстродвижущимися.

Оценим kp . Пусть Tн – температура на входе индуктора, Tк

– темпера-

∂T

≈

T − T

k p ≈

w l

тура на его выходе. Тогда

. В длинном индук-

∂x

lи

λ (Tк − Tн )

торе источники,

как правило, быстродвижущиеся. При k p >> 1 значение qx

существенно меньше

qw , и поэтому производной

∂T

в grad T

уравнения

∂x

(1.7) можно пренебречь. В результате получаем:

( x, y, z) = −c v ∂T − div (λ grad

T ).

(1.10)

∂x

Здесь grad T = j

∂T + k ∂T .

¶y

¶z

Определение. Режимом быстрого движения индуктора называют та-

кой процесс, когда количество тепла, передаваемого источником, много больше тепла, текущего по направлению движения за счет теплопроводно-

сти.

Теорема. Температурное поле в режиме быстрого движения индуктора эквивалентно нестационарному двухмерному температурному полю в неподвижной системе координат.

Доказательство. Воспользуемся рис. 1.2, а. Для стороннего наблюдателя индуктор перемещается по валу вправо. Для наблюдателя на валу последний движется внутри индуктора справа налево.

Подвижная система координат привязана к левому торцу индуктора. Начало нагрева на правом торце, конец – на левом. В процессе нагрева положение точки M, расположенной на валу непосредственно под правым торцом индуктора в момент времени t = 0 , в подвижной системе координат за период времени 0 < t < tn = lv определяется выражением x (M ) = l − vt , а в непо-

движной – x′(M ) = const . При этом ∂x

∂t = −v . Подставим в (1.10)

v :

= −c

−

∂T

− div (λ grad

T ) ;

dt ∂x

(l − vt, y, z) = c

∂T − div (λ grad

T )

, 0 ≤ t ≤ t

∂t

значение

(1.11)

Выражение (1.11) является уравнением нестационарного двухмерного температурного поля, что и требовалось доказать.

1.2. Переходная и импульсная характеристики нагрева

		1.2.1. Уравнения теплопроводности в критериях
Здесь и в дальнейшем система «индуктор –							заготовка» неподвижная (
v = 0 )	и	x′ = x ,		y′ = y , z′ = z .		Уравнение	теплопроводности	c	∂T =
								v	∂t
= div (λ grad T ) + w0					на интервале	линейности	может быть представлено
в виде	∂T − a T =		a		w ( x, y, z,t ), где T – оператор Лапласа от T ;			a – ко-
в виде	∂T − a T =				w ( x, y, z,t ), где T – оператор Лапласа от T ;			a – ко-
	∂t		λ		0
	∂t		λ

эффициент температуропроводности, a = λcv .

Мощность, поглощаемая единицей поверхности нагреваемого тела в зависимости от времени, определяется формулой p0 (t ) = 10−3 Hme2 (t ) ρμ f [Вт/м2], где H me – амплитуда напряженности магнитного поля на поверхно-

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'iПрезентация'
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология