Материал: LS-Sb90926

Смотрите также:

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

θп

s + k

Ki =

= θп

k + (1 + kS p )s

+ S p

s + k + kS ps

k + ϕ′(0) s

s + k

′

+ kS p .

Здесь ϕ (0) = 1

Чтобы перейти от изображения к оригиналу, необходимо из дроби выде-

лить целую часть и разложить остаток на простые дроби:

s + k +

−

+ k 1

−

ϕ ' 0

ϕ '(

Ki =

( )

ϕ '( 0)

s +

ϕ '( 0)

s +

ϕ '( 0)

1 −

θП

ϕ '

1 + k

(

)

s +

ϕ '( 0)

ϕ '(

Оригиналом этого изображения будет

θп

Ki (τ)

δ0

(τ) + k 1 −

e−kτ/ϕ′(0) .

(2.7)

ϕ′(0)

Как видно из (2.7), искомый закон управления мощностью имеет импульсную составляющую бесконечной амплитуды, действующую нулевое время, благодаря которой мгновенно устанавливается заданная температура

на поверхности. Другая составляющая (см. рис. 2.4),
	θ					1
Ki(0+ + τ) =		п	k 1	−			e−kτ ϕ′(0) ,
	′	(0)			′
	ϕ				ϕ	(0)

убывающая по экспоненте, обеспечивает постоянство температуры на поверхности.

Для того чтобы найти время нагрева τн до заданного перепада темпера-

ходная (перед нагревом) температура, обычно 293 К. Закон роста средней

температуры был определен ранее как

θ*ср =

∫ Ki (τ)d τ =

+ ∫ k 1 −

e− kτ

ϕ′(0)d τ

′

(0)

ϕ (0)

′

ϕ (0)

′

1 − e− kτ ϕ (0)

1 + k

−

ϕ′(0)

′

(0)

+ (ϕ′(0) −1) − (ϕ′(0) −1)e

ϕ′(0)

− kτ

′

ϕ′(0) − (ϕ′(

0) −1)e

ϕ′(0)

(0)

′

= θ

1 −

e− kτ ϕ

(2.8)

ϕ′(

В выражении (2.8) средняя температура θ еще не определена, известно

только, что θср

ср

θп ≤ 1. Чтобы найти время нагрева до заданного перепада

температуры между поверхностью и центром нагреваемого сплошного цилиндра τн , надо задать соответствующее перепаду конкретное значение θср и

решить уравнение θ

= θ

− 1 −

e−kτн

ϕ′(0)

относительно τ

ср

ϕ′(0)

θср

= 1

− 1 −

e−kτ ϕ′(0) ; 1 − 1 −

e−kτ ϕ′(0) =

1 −

;

θп

′

(0)

′

θп

( ))

ϕ (0)

(

ср

п )

(

1 −

ekτн ϕ′(0)

1 − 1 ϕ′ 0

;

e−kτн

ϕ′(0) =

;

− (

θср θп )

1 − 1 ϕ′

(

))

(

′

(0)

)

′

(0)

1 −

′

(0)

)

kτн

1 − 1 ϕ

1 ϕ

= ln

(

;

τн =

(

ϕ′(0)

1 − (θср θп )

2.2.2. Управление мощностью с начальной ступенькой

Рассматрим режим управления мощностью более близкий к реальности по сравнению с предыдущим режимом. Управление нагревом в нем осуществляется в два этапа. На первом этапе мощность задается в виде ступеньки. Уровень ее определяется технико-экономическими соображениями. На втором этапе управление мощностью осуществляется по закону, обеспечивающему поддержание заданной температуры на поверхности.

Ставится задача определения длительности τ0 первого этапа нагрева, в течение которого при заданном уровне мощности Ki0 ступеньки температура поверхности достигнет заданного значения θп . На втором этапе устанавливается закон изменения мощности Ki (τ − τ0 ) , обеспечивающий поддержа-

ние достигнутой температуры, и определяется его длительность до момента
установления заданного перепада темпера-			Ki, θ
туры между поверхностью и центром нагре-

ваемого тела (рис. 2.5).			Ki0
	Как и прежде, воспользуемся критери-		Ki0
	Как и прежде, воспользуемся критери-		θп
альной формой		уравнения теплопроводно-	θп
альной формой		уравнения теплопроводно-			Ki(τ – τ0)
	∂θ - Ñ2q = Ki (t) w(a, b) . При Ki (τ) =				Ki(τ – τ0)
сти	∂θ - Ñ2q = Ki (t) w(a, b) . При Ki (τ) =
	¶t			τ0	τ
= Ki0 = const и		τ ≤ τ0 решением этого урав-		τ0	τ
= Ki0 = const и		τ ≤ τ0 решением этого урав-		Рис. 2.5
нения будет				Рис. 2.5
нения будет
		θ (β, τ) = Ki0ϕ (α, β, τ) .
			(2.9)
	При β = 1 к концу первого этапа ( τ = τ0 ) решение (2.9) имеет вид
		θ (β = 1, τ0 ) = θп = Ki0ϕ1 (α, 1, τ0 ) .			(2.10)

Здесь ϕ1 (α, β, τ) – переходная характеристика первого этапа. В дальнейшем, для краткости она будет обозначаться ϕ1 (τ) .

Если же Ki (τ) – любая гладкая функция, содержащая в том числе ступеньку, то решение уравнения можно найти с помощью интеграла наложения

q(b, t) = ∫τ Ki (t)j¢(t - x)dx, который при τ > τ0 можно разделить на два инте-

грала:

τ0

′

θ (τ) = ∫

Ki0ϕ1 (τ − ξ) d ξ + ∫ Ki (ξ)

ϕ2 (τ − ξ) d ξ =

τ0

′

ξ=τ0

Ki (

′

(τ − ξ) d ξ =

= −Ki0ϕ1

(τ − ξ)

ξ=0

+ ∫

ξ)ϕ2

τ0

= Ki

ϕ′

(

τ) − ϕ

(τ − τ

)

Ki (ξ)ϕ′ (τ − ξ) d ξ .

∫

(2.11)

τ0

Здесь ϕ′ (τ ) – переходная характеристика на втором этапе нагрева.

Введем новую координатную систему τ′ с началом координат на оси τ в точке τ = τ0 . Таким образом, τ′ = τ − τ0 , τ = τ0 + τ′ . Теперь при τ′ > 0 и β = 1 с учетом (2.10) получаем:

′

= Ki

ϕ (τ

) = Ki

ϕ (τ

′

θ(τ ) = θ

+ τ )

∫

Ki (ξ)ϕ

(τ − ξ)d ξ . (2.12)

0 1 0

0 1

Перевод (2.12) в изображения дает

θп =

Ki0ϕ1 (τ0 )

= Ki

(τ

) − ϕ

sϕ

(2.13)

Далее формула (2.13) приводится к виду, удобному для обратного преобразования Ki в оригинал:

ϕ (τ

)

+ ϕ1 − ϕ1 (τ0 )

1 0

ϕ1 (τ0 ) + sϕ1 − sϕ1 (τ0 )

(2.14)

sϕ2

s2ϕ2

Результат преобразуется с целью получения оригинала Ki (τ′) .

Воспользуемся

теоремой

о дифференцировании изображения

(

)′ =

− f (0) ,

′ + f (0)

и преобразуем переходные характеристики и

′ = sf

их изображения.

Напомним, что sϕ

= ϕ′

и ϕ

(0) = 0 , i = 1, 2. Преобразуем

слагаемые числителя и знаменателя (2.14) с целью понижения порядка относительно s :

sϕ	(τ		) = ϕ′	(τ		) + ϕ	(τ		) ; sϕ = ϕ′		; s	2	ϕ		= s (sϕ		′		.
		0			0			0						2		2	) = sϕ	2
1			1			1			1	1

После подстановки (2.15) в (2.14) получим:

(2.15)

(2.16)

Чтобы найти изображения производных переходных характеристик, используют их экспоненциальные аппроксимации. Оригиналом изображения

(2.16) будет

	k ϕ (τ ) − τ			−(	k		′	(	0	))	τ′
	1 1 0	0		−(	k	2	′	(	0	))	τ′		−k τ′
Ki (τ′) = Ki0			Ae									+ Be	1	.
Ki (τ′) = Ki0	′		Ae									+ Be	1	.
	′
	ϕ2 (0)
		40

Таким образом, установлен закон изменения мощности после ступеньки. Для определения длительности процесса нагрева до заданного перепада температуры между центром и поверхностью можно использовать закон роста средней температуры, который формулируется следующим образом:

τ′

θср = Ki0τ0 + ∫ Ki (τ′)d τ′ .

При τ′ = τ′н средняя температура достигает заданного значения. После

интегрирования получаем:

θср = Ki0τ0 + Ki0 ×

(τ

) − τ

ϕ′

(0)

−(

′

(

′

− e

ϕ2

))τн

A 1

′

ϕ2 (0)

B (1 − e−k1τ′н ) . (2.17)

Поскольку процесс адиабатический, при τ′н → ∞ средняя температура θср → θп . Действительно, если учесть, что в этом случае экспоненты устре-

мятся к единице и что Ki0ϕ1 (τ0 ) = θп ,

то после подстановки в правую часть

(2.17) значений A и B и некоторых преобразований получаем:

ϕ1 (τ0 ) − τ0

ϕ′ (0) k − k

1 k

− k

Ki0τ0 + Ki0

′

(0)

k2 k0 − k1

ϕ2

k1 k0 − k1

k0k1 ϕ1 (τ0 ) − τ0

k − k

1 k

− k

= Ki0τ0 + Ki0

k − k

− k

k0k1

ϕ1 (τ0 ) − τ0

k k

− k k

+ k

k − k k

= Ki0τ0 + Ki0

1 0

1 2

2 0

1 0

k1k0

(k0 − k1 )

= Ki0τ0 + Ki0ϕ1 (τ0 ) − Ki0τ0 = θп .

Аналитического решения трансцендентного уравнения (2.17) относительно τ′н не существует. Можно найти приближенное решение в аналитическом виде, приняв B = 0, т. е. A = 1 и

k = k			= Ki				τ		+ Ki			ϕ		(τ			)	− Ki				τ			− Ki					ϕ			(τ		)	− τ				e		−		k	ϕ′		(	0) τ′
k = k		2	= Ki			0	τ	0	+ Ki			ϕ		(τ	0		)	− Ki		0		τ		0	− Ki				0	ϕ			(τ	0	)	− τ			0	e			(		2 2			) н =
1		2				0		0				0 1			0					0				0					0			1		0	(0)				0
									= θ − Ki								ϕ (τ						) − τ				e			−		k	ϕ′		(0)			τ′
									= θ − Ki						0		ϕ (τ				0		) − τ			0	e				(		2 2				)	н ;
											п				0				1		0					0							θп − θср																(0)
																−		k	ϕ′		(0)				τ′								θп − θср													−	k	ϕ′	(0)	τ′
θ − θ = Ki					ϕ				(τ		) − τ			e			(		2 2					)	н ;																		= e			(		2 2		) н ;
θ − θ = Ki					ϕ				(τ		) − τ			e											н ;			Ki				ϕ		(τ			) − τ						= e							) н ;
п	ср			0			1			0			0															Ki			0	ϕ		(τ		0	) − τ				0
																															0	1				0					0
																							41

туры T между температурой поверхности Tп

и температурой центра Tц ,

вводятся понятия средней температуры Tср = 0,5(Tп + Tц ) и отношения сред-

ней температуры к температуре поверхности

Tср − Tнач

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'iПрезентация'
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология