Материал: LS-Sb90926

ние почти всегда сопряжено со значительным увеличением времени нагрева, что нецелесообразно. Эта задача не имеет собственного практического значения, если не предусматривать в конструкции нагревателя специальных мер по защите поверхности нагреваемых тел. Вторая задача на максимум точности нагрева также чрезмерно академична и не имеет прикладного значения, хотя ей и посвящено большое количество работ.

Таким образом, наиболее актуальной является первая задача – максимального быстродействия, к тому же при ее решении, как правило, автоматически решается третья задача, т. е. обеспечивается минимальный расход электроэнергии. Рассмотрим данную задачу подробнее.

Время нагрева заготовки tн = tн ( p0 (t ), q0 (t ), f (t )) является функциона-

лом от законов изменения удельной мощности, тепловых потерь и частоты тока. Возможно трехканальное управление:

а) управление частотой тока (практически не используется);

б) управление удельной мощностью тепловых потерь. Значение q0 нарастает к концу нагрева и существенно влияет на температурное поле. Влияние это двоякое. С ростом q0 распределение температуры по сечению

Tп - температура на поверхности заготовки. При глубинном нагреве возможен перегрев внутренних слоев. В то же время увеличение тепловых потерь сокращает время нагрева, так как позволяет поднять уровень мощности в заготовке. Очевидно, q0 и, следовательно, толщина тепловой изоляции должны варьироваться с целью минимизации энергозатрат при ограничении по температуре в точке максимума;

Ставится задача определения закона управления мощностью при произвольном изменении Ki (τ) . Воспользуемся критериальной формой уравнения теплопроводности

Примем Ki (τ) = Ki0 = const . Тогда, как было показано ранее, решением уравнения (2.1) будет θ (β, τ) = Ki0ϕ (α, β, τ) . Если же Ki (τ) - любая гладкая

функция, то решение уравнения (2.1) можно найти с помощью интеграла наложения:

При решении интегрального уравнения (2.2) воспользуемся операторным методом и приведем его основные положения. С помощью операторного метода, или преобразования Лапласа, функция-оригинал f (t ) переводится в

33

функцию-изображение f (s) , или, короче, оригинал f (t ) – в изображение

=−1{ f (s)}. Преобразование функций операторным методом осуществляется

спомощью таблицы соответствий (см., например, [1]) и правил (теорем) отображения выполняемых над функциями операций.

Интегральная комбинация функций Ki (τ) и ϕ′ (τ − ξ) , содержащаяся в правой части уравнения (2.2), называется сверткой этих функций и символически обозначается Ki ϕ′ (читается: «функция Ki , свернутая с функцией ϕ′ »). Итак, имеется следующее правило (теорема) о свертке:

τ

∫ Ki(τ)ϕ′(τ − ξ)dξ = Ki ϕ′ K ϕ'.

0

Следовательно, уравнение (2.2) в изображениях примет вид θ = Ki ϕ, откуда

Ki = θϕ′ . Таким образом, поставленная задача решена в изображениях. Чтобы найти решение в оригиналах, необходимо найти изображения θ и

ϕ '. Вид изображения θ определяется заданным режимом нагрева. При определении изображения ϕ ' следует иметь в виду, что его оригиналом является производная ϕ′ . Воспользуемся теоремой дифференцирования для оригинала

ϕ′ sϕ − ϕ(0) и учтем тот факт, что всегда ϕ (0) = 0 . В результате имеем

ϕ′ sϕ и ϕ '= sϕ . Окончательным решением в изображениях поставленной задачи будет

2.1.4. Аппроксимация переходных характеристик

Оригиналы переходных характеристик содержат ряды, поэтому получить их изображения практически невозможно. В то же время основная составляющая переходной характеристики – S -функция – по характеру зависимости от τ близка к экспоненте (см. рис. 1.9).

Оказалось возможным представить S -функцию в переходной характе-

34

ристике ϕ (α, β, τ) = τ + S (α, β, τ) в виде комбинации экспонент:

где S p (α, β) , как и прежде (см. 1.3.2), характеризует регулярный режим нагрева. Если τ01 = τ02 = τ00 , то

Допустимость предложенной аппроксимации исследована для S (m,β, τ) при β = 1; 0,9; 0 . Установлено, что переходную характеристику для центра цилиндра (β = 0 ) следует определять по формуле (2.4), когда t01 ¹ t02 , а для поверхности (β = 1; 0,9 ) – по формуле (2.5), когда t01 = t02 . Необходимые данные для расчета этих характеристик приведены в табл. 2.1 (для β = 0 ) и 2.2 (для β = 1 ).

Таким образом, формулы (2.4), (2.5) и табл. 2.1 и 2.2 могут служить основой для определения закономерностей управления мощностью при различных режимах нагрева.

35