Материал: LS-Sb90926

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

сти, А/м; ρ – удельное сопротивление, Ом×м; μ – относительная магнитная проницаемость; f – частота, Гц.

Если ток в индукторе изменяется, то изменяется и H me , причем сразу на всей поверхности. Соответственно, во всех точках нагреваемого тела изменяется плотность индуцированных токов, следовательно, плотность источников тепла изменяется всюду одновременно. Таким образом, представляется возможность разделить переменные:

w	( x, y, z,t ) =	p0 (t )	w ( x, y, z ) .	(1.12)

0		R

Здесь R – базовый (наиболее характерный для тел данной формы) размер те-
ла; w ( x, y, z ) – безразмерная функция, зависящая от координат.
Строго говоря, выражение (1.12) справедливо для немагнитного тела (
μ = 1 ) или для ферромагнитных нагреваемых тел, если принять				μ = const.

На самом деле для ферромагнитных тел μ = μ (H ) . В этом случае закон распределения внутренних источников тепла приобретает сложную зависимость от p0 (t ) .

Уравнение теплопроводности на интервале линейности можно представить в безразмерных числах подобия:

∂θ - Ñ2q = Ki (t ) w(a, b , b

, b

(1.13)

¶t

p0 (t ) R

где τ =

Ki (t )

–

число Фурье (безразмерное время);

– число

l (T

- T

)

Кирпичева (безразмерная удельная мощность);

θ =

T − Tн

–

относительная

T0 - Tн

температура;

α =

R - безразмерный параметр,

характеризующий степень

проявления поверхностного эффекта;

– глубина проникновения электро-

магнитного

поля

в материал нагреваемого

тела;

β1 = x R ,

β2 = y R ,

β3 = z R – относительные координаты;

Tн , T0 –

начальная и базовая темпе-

ратуры соответственно.

Условием теплоотдачи с поверхности тела является

∂θ = -Bi q,

(1.14)

¶n

где n – безразмерный орт нормали к поверхности нагрева; Bi = (a0 R )l – число Био, характеризующее интенсивность тепловых потерь; α0 – коэффициент теплоотдачи с поверхности.

Начальным условием для каждого интервала линейности служит распределение температуры в конце предыдущего интервала. Для первого интервала при τ = 0

q(0) = 0 .

(1.15)

1.2.2. Переходная и импульсная характеристики нагрева

Примем мощность, выделяющуюся в нагреваемом теле, постоянной, т. е. Ki (t ) = Ki (0) . Тогда решение уравнений (1.12) и (1.13) при условиях (1.14) и (1.15) будет иметь вид

θ(τ) = Ki (0)j (a, b1, b2 , b3, t, Bi) .

(1.16)

Функция j (a, b1, b2 , b3, t, Βi) описывает температурное поле в нагре-

ваемом теле при единичной мощности ( Ki = 1) как реакцию тела на нагрев после включения единичной мощности (для краткости при записи этой функции будем указывать только ее зависимость от τ как j (t) , опуская аргумен-

ты (a, b1, b2 , b3, Bi) ). Это аналог переходной характеристики электрической

цепи. В этом случае (при p	0	(t ) = 1)	w	=	δ1 (t )	w ( x, y, z ) , где d	(t ) – единич-

			0		R	1

ная ступенчатая функция. Аналитически ее можно представить (рис. 1.3. а) следующим образом:

				δ (t ) =	0			при	t < 0,
				1				при	t > 0.
					1			при	t > 0.
Единичную ступенчатую функцию, смещенную на td > 0 , можно запи-
сать в виде
				δ1 (t − td )	=	0		при	t < td ;
				δ1 (t − td )	=	1		при	t > t .
										d
При этом, если p	0	(t ³ t	d	) = 1 , то w		=	δ1 (t − td )			w ( x, y, z ) (рис. 1.3. б).
При этом, если p		(t ³ t		) = 1 , то w		=				w ( x, y, z ) (рис. 1.3. б).
					0			R
								R

1	δ1(t)	1	δ1(t – td)
1		1

t	td	t
а		б

Рис. 1.3

– t1/2	0	t1/2	t	t
		а		б
	f1
	f1

– t1/2	0	t1/2	t	t	t
		в			г
		Рис. 1.4

Производная ϕ′(τ) описывает температурное поле при мощности в виде

бесконечно короткого импульса как реакцию тела на нагрев импульсом. Это аналог импульсной характеристики электрической цепи. Импульсная характеристика нагрева представляется с помощью единичной импульсной функции, которую обозначим δ0 (t ) . Чтобы определить эту функцию, рассмотрим две функции:

∙	f1 (t ) , линейно возрастающую				от		нуля до единицы на интервале
(− t1 2, + t1 2) и равную единице при t ³ t1							2 (рис. 1.4, а);
∙ первую производную		f2 (t) =	df1 (t)
						, представляющую собою прямо-

					dt
угольный импульс длительностью t1					и амплитудой 1 t1 (рис. 1.4, б). Пло-
щадь,	ограниченная f2 (t ) ,	равна единице независимо от значения t1 . При
t1 ® 0	амплитуда функции	f2 (t ) будет стремиться к бесконечности, а дли-
тельность импульса – к нулю. Таким образом, получена единичная импульс-
ная функция (рис. 1.4, в)
	lim f2	(t ) = d0 (t ) = ¥ при t = 0;
					0		при t ¹ 0.
Функция, смещенная на время td				(рис. 1.4, г), может быть записана как
	d0	(t - td ) =		¥ при t = td ;
					0 при t ¹ td .

Итак, ступенчатое воздействие –					это включение источника единичной
мощности «на постоянно», импульсное воздействие – включение бесконечно
мощного источника на нулевое время нагрева.

1.2.3. Применение интегралов наложения для расчета температурного поля при переменной мощности

При переменной мощности температурное поле можно рассчитать, придав изменению мощности ступенчатый характер (рис. 1.5). Пусть Ki (τ) – любая гладкая функция. Представим ее в виде конечного числа ступеней и выполним их наложение, используя формулу (1.16):

θ(τ) = Ki(0)ϕ(τ) + Ki(ξ

)

− Ki(0)

ϕ(τ− ξ

) + Ki(ξ

) − Ki(ξ

) ϕ(τ− ξ

) + ... =

= Ki (0)ϕ(τ) + ∑

Ki(ξn+1 ) − Ki (ξn )

ϕ(τ − ξn+1 )(ξn+1 − ξn ).

ξn+1 − ξn

Ki(τ)	Ki(τ)
	Ki(τ)
	Ki(	)
	i(ξ22)
	Ki(i(ξ11))
	Ki(0)i(
ξ1	ξ2	τ
ξ1	ξ2	τ
1	2
	Рис. 1.5

При n → ∞

				τ	(ξ)ϕ(τ − ξ)dξ ,
				′		(1.17)
				θ (τ) = Ki(0)ϕ(τ) + ∫ Ki		(1.17)
				0
где	Ki′(τ) =	∂Ki	;	ξ – вспомогательная переменная. Это интеграл наложения
где	Ki′(τ) =	∂τ	;	ξ – вспомогательная переменная. Это интеграл наложения
		∂τ

(интеграл Дюамеля) по переходной характеристике.

Интегрируя (1.17) по частям, можно найти вторую форму записи интеграла наложения:

θ(τ) = Ki(0)ϕ (τ) + ϕ (τ− ξ)Ki(ξ)	ξ=τ	τ	′	(τ− ξ)(−1)d ξ =
	ξ=τ	τ	′
	ξ=0	− ∫ Ki(ξ)ϕ
	ξ=0	− ∫ Ki(ξ)ϕ
		0
			τ	′	(τ− ξ)d ξ.
				′
= Ki(0)ϕ (τ) + ϕ(0)Ki(τ) − ϕ (τ)Ki(0) + ∫ Ki(ξ)ϕ
			0

Так как ϕ(0) = 0 , то θ(τ) = ∫τ Ki(ξ)ϕ′(τ − ξ)dξ .

Используя терминологию теории электрических цепей, функцию ϕ(τ) назовем переходной характеристикой, а ϕ′(τ) – импульсной.

Формула (1.17) справедлива при единственном ограничении: числа Био должны быть одинаковыми на всех интервалах. Если это неприемлемо, например, в случае футерованных нагревателей методического действия, можно принять Bi = 0 ( α0 = 0 , адиабатический процесс). Тепловые потери можно учесть другими известными методами.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'iПрезентация'
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология