Материал: LS-Sb87083

Данное представление передаточной функции фильтра соответствует последовательному включению L фильтров, описываемых отношением полиномов со степенью не выше 2 – такой фильтр называется биквадом.

Передаточная функция любого фильтра чётного порядка может быть представлена в виде произведения квадратных полиномов. Для нечётных по-

рядков полинома коэффициент при p2 равен нулю.

Если корни полинома имеют сопряженные комплексные значения, то реализация такого фильтра с помощью пассивных RC-цепей невозможна. Для реализации фильтров с сопряженными комплексными корнями могут быть использованы LRC-фильтры. Для высоких частот получение необходимых индуктивностей не представляет затруднений. Однако для низких частот нужны бóльшие индуктивности, которые имеют крупные габаритные размеры. Применения индуктивностей для фильтров в низкочастотном диапазоне можно избежать, используя RC-схемы с активными элементами.

С помощью одной и той же схемы можно получить характеристики фильтра любого типа определенного порядка, изменяя лишь номиналы соответствующих сопротивлений и конденсаторов. Расчет схемы конкретного фильтра предполагает знание частотных характеристик каждого фильтра при заданном его порядке.

В процессе проектирования параметры передаточной функции фильтра могут оптимизироваться по различным критериям (порядку фильтра, крутизне АЧХ в переходной области и т. д.). Для удовлетворения каждому из выбранных критериев оптимизации коэффициенты ai и bi передаточной

функции H p должны иметь строго определенные значения.

Наиболее известны методики расчета, основанные на использовании алгебраических полиномов с известными свойствами (коэффициенты этих полиномов ai и bi табулированы), предложенные в своё время учёными Бат-

тервортом, Чебышевым, Бесселем (Томпсоном). Фильтры, аппроксимация передаточной функции которых осуществляется с использованием этих полиномов, получили соответствующие названия.

Наиболее часто используются следующие виды аппроксимации:

аппроксимация по Баттерворту;

аппроксимация по Чебышеву первого рода;

аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Че-

бышева);

6

аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация).

Далее кратко приведены характерные особенности фильтров, имеющих передаточную функцию, соответствующую полиному определенного типа.

В области пропускания АЧХ фильтра Баттерворта имеет гладкий характер и резко спадает в переходной области. Переходная характеристика такого фильтра имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебательность переходной характеристики усиливается.

АЧХ фильтра Чебышева в переходной области спадает более круто. В полосе пропускания она не монотонна, а имеет волнообразный характер с постоянной амплитудой. При заданном порядке фильтра более резкому спаду АЧХ в переходной области соответствует большая неравномерность в полосе пропускания. Колебательность переходной характеристики у такого фильтра выражена сильнее, чем у фильтра Баттерворта. АЧХ фильтра Чебышева имеет наиболее крутой спад в переходной области.

Фильтр Бесселя характеризуется меньшей длиной горизонтального участка в полосе пропускания, чем фильтр Баттерворта и более пологим спадом АЧХ в переходной области, чем фильтры Баттерворта и Чебышева. Переходный процесс такого фильтра практически не имеет колебаний. Увеличение порядка фильтра Бесселя выше четвертого приводит к затуханию колебаний переходного процесса.

Фильтр, построенный на основе описания эллиптическими полиномами, содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания АЧХ.

Фильтры Чебышева по сравнению с фильтрами Баттерворта обеспечивают заданную крутизну АЧХ в переходной области, имея меньший порядок. Эллиптические фильтры обеспечивают максимальную крутизну АЧХ в переходной области при минимальном порядке фильтра.

Для сужения переходной области АЧХ фильтра необходимо увеличивать его порядок. Однако это ведёт к увеличению количества элементов, с помощью которых реализован фильтр, и увеличению чувствительности фильтра к номиналам этих элементов.

После выбора нужного типа полинома его коэффициенты ai и bi нахо-

дят из специальных таблиц (выдержки из таблиц приведены в прил. Б). Коэффициенты, содержащиеся в этих таблицах, соответствуют нормированным на частоту среза передаточным функциям ФНЧ. Следует отметить, что в ка-

7

честве базового при анализе и синтезе фильтров обычно принимается ФНЧ. Остальные виды фильтров могут быть построены на его основе либо с использованием структурного подхода, либо заменой переменной p . Струк-

турный подход проиллюстрирован на рис. 1.2. Например, если из полного сигнала вычесть выходной сигнал ФНЧ, то в итоге получим ФВЧ. Полоснопропускающий фильтр можно построить, если включить последовательно ФНЧ (с частотой среза c c1) и ФВЧ (с частотой среза c c0 ). Для по-

строения полосно-заграждающего фильтра достаточно соединить параллельно ФНЧ (с частотой среза c c0 ) и ФВЧ (с частотой среза c c1).

Uвх ФНЧ ФВЧ Uвых

в

Рис. 1.2. Блок-схемы различных типов фильтров: а – ФВЧ; б – ФПЗ; в – ФПП

Передаточные функции фильтров, реализованных по схемам на рис. 1.2, имеют вид:

H p 1 HФНЧ p – для ФВЧ;

H p HФНЧ p HФВЧ p – для ФПП;

H p HФНЧ p HФВЧ p – для ФПЗ.

При использовании метода замены переменной для получения передаточной функции фильтра соответствующего типа необходимо:

для фильтра высоких частот подставить p c2 p ,

где c – частота среза ФВЧ;

для полосно-пропускающего фильтра подставить p c ( p2 c0 c1) p c1 c0 ,

где c c0 c1 2 – середина полосы пропускания ФПП; c0 , c1 – нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания;

8

для полосно-заграждающего фильтра подставить p c p c1 c0 [ p2 c0 c1] ,

где c c0 c1 2 – середина полосы задерживания ФПЗ; c0 , c1 – нижняя и верхняя граничные частоты полосы задерживания.

2. ПАССИВНЫЕ RC-ФИЛЬТРЫ

2.1. Пассивный фильтр нижних частот

Пассивный фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передаёт сигналы низких частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис. 2.1 изображена схема простейшего RC-фильтра нижних частот.

щие выражения для АЧХ и ФЧХ:

Фазовый сдвиг на частоте среза составляет –45°. На высоких частотахc значение АЧХ H 1 RC , т. е. коэффициент усиления обратно

пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на 20 дБ в декаду.

В качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени . Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на 1e часть значе-

9

ния входного напряжения. Для схемы, представленной на рис. 2.1, постоянная времени равна RC .

2.2. Пассивный фильтр верхних частот

Фильтр верхних частот – это схема, которая передаёт без изменений сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простейшего RC-фильтра верхних частот приведена на рис. 2.2.

ем для фильтра нижних частот c 1 RC .

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет +45°. На низких частотахc значение АЧХ H RC , т. е. коэффициент усиления пропор-

ционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления увеличивается в 10 раз, т. е. он увеличивается на 20 дБ в декаду. При c ,

как и для фильтра нижних частот, H 1 2 3 дБ, постоянная времени

RC .

2.3.Пассивный полосовой фильтр

Полосовой фильтр получают последовательным соединением фильтров верхних и нижних частот. Его выходное напряжение на высоких и низких частотах равно нулю. Одна из возможных схем такого фильтра представлена на рис. 2.3.

Найдем частотные характеристики этого фильтра. Его выходное напряжение определяется выражением

10