Материал: Hydrogeodynamics101

5. Постановка и решение простейших задач вертикального влагопереноса

1. Дифференциальное уравнение и граничные условия

Преобладание в пределах зоны аэрации нисходящих или восходящих потоков влаги делает практически наи­более важными одномерные задачи вертикального влаго­переноса [25].

Для вывода дифференциального уравнения верти­кального влагопереноса предварительно получим уравне­ние неразрывности, рассматривая баланс влаги в беско­нечно малом элементе грунта высотой dz с единичной площадью поперечного сечения.

Действуя так же, как и в разделе 2.2, приравняем увеличение влагосодержания в выделенном элементе за время dt разнице массовых потоков влаги через верхнюю и нижнюю грани элемента:

г , ^{3 v}z . 1 dW,, ,

^VZ dt - [v₂ + -_z rfzj - -j~ dt dz,

^₊м:₌₀

dz dt (6.73)

Теперь воспользуемся уравнением движения в виде

71. (Третье равенство); тогда

при оси z, направленной вверх. Уравнение (6.74) — не­линейное, так как коэффициенты knD_w зависят от иско­мой функции влажности. Начальное условие для этого уравнения задается исходным распределением влаги, ко­торое само по себе чаще всего бывает существенно неста­ционарным: устойчивые во времени профили влажности в пределах зоны аэрации — скорее исключение, чем пра­вило. Однако на глубинах более 2 м (для средней полосы России) обычно можно полагать, что в длительные пери­оды устойчивого режима влаги на земной поверхности исходная влажность сравнительно однородной толщи по­род в зоне аэрации примерно отвечает так называемой полевой влагоемкости (т.е. влажности, при которой ни­сходящий или восходящий поток влаги в данных условиях пренебрежимо мал).

Граничные условия для уравнения (6.74) должны за­даваться, вообще говоря, на границах зоны аэрации, т.е. на поверхности земли и на свободной поверхности грун­товых вод. И то, и другое обычно достаточно сложно, особенно задание условий на поверхности земли: здесь режим влаги весьма неустойчив, а кроме того приповерх­ностный слой грунта обычно характеризуется своей спе­цифической (измененной) структурой и, соответственно, проницаемостью — последняя обычно ниже исходной на один-два (а то и на три-четыре) порядка.

Поэтому практически гораздо удобнее принимать за верхнюю границу зоны аэрации нижнюю кромку почвен­ного или приповерхностного кольматационного слоя , имея в виду, что непосредственно под ним, как правило, отмечается свободный режим инфильтрации с постоянной

(не зависящей от координаты z) скоростью v® При оси z,

направленной вверх, условие на этой границе (v_z = - ,

с учетом формулы (6.71), принимает тогда вид

^dw(^w)⁼~JY +¹(W0=v₂°. (6.75)

Ввиду малой мощности кольматационногослоя можно ожидать, что непосредственно под ним быстро образуется зона равномерно увлажненных пород (W = W_z = const), т.е. градиент влажности здесь стремится к нулю и гранич­ное условие упрощается:

к (HQ = V». (6.75а)

Таким образом, при заданной скорости поступления влаги с поверхности v_z с помощью опытного графика свя­зи к (W) находится граничное значение влажности W_e.

ющую линейную зависимость, связывающую скорость испарения v_^M

В случае испарения грунтовой влаги обычно используют следу- ую линейную за с влажностью [25 ]:

v“=a(w-w“), _{(6 76)}

где Wq — влажность, при которой испарение в данных условиях практически отсутствует; Wq Ж^и;

IV^й — влажность, при превышении которой испарение проте­кает практически независимо от влажности;

а — экспериментальная константа (а ~ 0,04-Ю,08 м/сут для районов аридного и полуаридного климата).

С учетом формулы (6.76) граничное условие на поверхности земли при испарении принимает вид

-D_w(w)^--k(W,^a(W~%). _(67?)

На нижней границе зоны аэрации условия, на первый взгляд, достаточно просты: H=z, W= W_n, где W_n — полная влагоемкость. Так как влияние этой границы необходимо учитывать в условиях относительно неглубокого залега-

ни я подземных вод (когда само положение границы опре­деляется притоком влаги к ней сверху), здесь необходимо задавать дополнительное кинематическое условие, свя­зывающее скорость изменения свободного уровня v_z² со скоростью притока (оттока) влаги v_r

ВОПРОС. При каких условиях окажется справедливым балан­совое соотношение

_У^г = .

^z w_n - W_{0 (6Л8)}

При глубоком залегании уровня грунтовых вод гра­ничное условие на нижней границе зоны аэрации не при­нимается во внимание: задача вертикального влагопере­носа формально решается как для полуограниченной (сверху) области, в пределах которой рассчитывается из­менение во времени положения подвижной нижней гра­ницы — фронта увлажнения. Одну из возможных задач в подобной постановке мы и рассмотрим далее.

2. Простейшая задача вертикального просачивания

Если на поверхности зоны аэрации задано поступле­ние влаги (дождевание) с постоянной интенсивностью е, то при однородном строении пород зоны аэрации образу­ется четко выраженная область просачивания (глубиной D, в пределах которой влажность остается практически постоянной. Этот факт доказан и теоретически, и экспе­риментально. Для примера на рис. 6.25 приведены харак­терные эпюры влажности для конкретного эксперимента [25]. Движение влаги в упомянутой области происходит за счет свободного стекания при градиенте, равном еди­нице (т.е. I v_z I —kl — к (W)), а влажность на фронте про­сачивания меняется скачком от начального значения W₀ до постоянного значения W в области просачивания (от­метим, что из-за наличия верхнего кольматационного слоя обычно W < И^, т.е. полного насыщения нет). Со­ставляя балансовое уравнение для бесконечно малого

Рис. 6.25. Характерные опытные графики зависимости влажности

от глубины просачивания ( цифры на —</ .

кривых - время от начала опыта, (И^ — W₀) (z/k₀) ^п

мин.) ₍₆₈₁₎

продвижения фронта просачивания dl за вре­мя dt, полу-чаем

(W - W₀) dl = к dt,

или, аналогично форму­ле (6.78)

_dl _ k(W) ^v‘~dt W - W₀ '

(6.79)

Так как в рассматри­ваемом случае е ~ к, то, с учетом формулы (6.68),

(w-w₀Y

е = к

О

w_n-w₀

(6.80)

Следовательно,

Е

Если начальная влажность невелика (W₀ « W_n), то

^vi =

Е

^Wn(^e/K)'^/n (6.81а)

Полагая, для простоты, п = 3 (см. раздел 6.8.2), при­ходим к решению [25]:

Этот результат может быть использован для оценки коэффициента фильтрации грунта, если из наблюдений известны скорость просачивания v_e и инфильтрация е.

Нужно, однако, сказать, что полученное решение удовлетворительно описывает лишь движение влаги в од­нородных, сравнительно хорошо проницаемых грунтах. В глинистых грунтах, в частности, большое значение имеет перенос влаги диффузионным путем (см. первый член в правой части уравнения (6.74), что приводит к «размыва­нию» фронта увлажнения и образованию широкой пере­ходной зоны (аналогично случаю конвективно-дисперси­онного переноса солей — см. раздел 6.3). Еще более серьезное влияние оказывает профильная неоднород­ность пород в зоне аэрации (см. раздел 6.9.3).

Поэтому в общем случае вертикального влагоперено­са приходится решать нелинейное уравнение (6.74), для чего можно использовать аналоговое или численное мо­делирование. Трудности такого моделирования во мно­гом обусловлены наличием подвижного фронта увлажне­ния, что требует организации специальных итерационных процедур. Однако главная проблема здесь заключается, конечно, не в формально-математических аспектах, а в надежной оценке исходных параметров влагопереноса, таких как k(W) или DJW). Мы не будем здесь касаться многочисленных трудностей решения этой слабо разрабо­танной проблемы, но во многом они могут быть проиллю­стрированы на примере частного (и, кстати, вовсе не са­мого трудного при изучении влагопереноса) вопроса об оценке проницаемости грунтов зоны аэрации опытными наливами в шурфы.

3. Особенности движения влаги при опробовании пород зоны аэрации наливами в шурфы

Задача о наливе в шурф имеет особое практическое значение, так как в подавляющем большинстве случаев именно данные таких опытных наливов используют для оценки связи подземных вод с вновь проектируемыми водоемами и водотоками, для прогноза гид­родинамического режима на орошаемых площадях, для оценки воз­можного загрязнения подземных вод из бассейнов промышленных стоков и т.д.

Традиционная теория опытных наливов базируется в общем на принципах, близких к изложенным в предыдущем разделе при выво­де зависимости (6.82), хотя в отдельных вариантах делаются попыт­ки дополнительно учесть те или иные особенности гидродинамиче­ской картины при наливе. Вместе с тем достаточно общеизвестно, что результаты опытных наливов очень часто далеки от реальности [21 ]. Интересно поэтому специально рассмотреть те особенности движе­ния влаги при опытных наливах, которые делают эти эксперименты столь трудно интерпретируемыми, т.е. в конечном счете — малона­дежными. Такой анализ позволит нам частично понять, с какими объективными трудностями сталкивается изучение влагопереноса в зоне аэрации (хотя здесь они будут отражены отнюдь не полностью).

На результаты опытных наливов существенное влияние оказы­вают следующие факторы, не учитываемые вовсе или принимаемые во внимание лишь частично при стандартных экспериментах:

1. боковое растекание наливаемой воды;

2. неполное водонасышение порового пространства в процес­се налива;

|~3~| изменения расчетного градиента ввиду недоучета сло­истости и капиллярных эффектов или, наоборот, подпора вблизи фронта просачивания воды;

4. диффузионные эффекты;

5. несоответствие напряженного состояния пород прогноз­ными условиям.

Отметим, что все эти факторы в наибольшей степени проявля­ются при проведении экспериментов на слабопроницаемых неодно­родных (слоистого строения) грунтах. Рассмотрим их влияние более подробно.

|~1~| Боковое растекание обусловлено как гидродинамически­ми силами, так и капиллярными эффектами (по боковой поверхно­сти зоны увлажнения — рис. 6.26,а). В однородных грунтах оно может быть в принципе учтено в рамках априорных теоретических построений. Соответствующие расчетные схемы и методики интерп­ретации наливов были предложены рядом авторов. Трудности их реализации связаны с необходимостью независимой оценки капил­лярных сил на фронте увлажнения. Дополнительные искажения в оценки бокового растекания вносят диффузионные эффекты (см. ниже).

ВОПРОС. В каком случае, при прочих равных условиях, боковое растекание выражено сильнее — при наливе в сухой грунт или в увлажненный?

Более важно, однако, что боковое растекание многократно уси­ливается слоистостью и профильной фильтрационной анизотропией испытуемых отложений (рис. 6.26,6). В такой ситуации его влияние может быть учтено лишь на основе прямых наблюдений. В противном случае можно попытаться снизить это влияние многократным увели­чением размеров площади налива, хотя и такой подход может при­вести к успеху лишь при не слишком ярко выраженной фильтраци­онной неоднородности.

а.

S

Рис. 6.26. Боковое растекание воды при наливах в шурфы: а - однородные породы; б - слоистый комплекс; I - положение фронта увлажнения

ВОПРОС. Почему влияние бокового растекания ослабевает с ростом площади налива?

[~2~] Неполное водонасыщение в пределах зоны увлажнения вызывается боковым растеканием (кстати, почему ?). Кроме того, оно может быть обусловлено:

а) профильной фильтрационной неоднородностью (вместе с тем отметим, что постановка налива обычно исключает образование по ходу опыта слабопроницаемой закольматированной зоны под дном шурфа, подобной описанной в разделе 6.9.2);

б) трудностью вытеснения воздуха из-под шурфа (подумайте, как этот фактор зависит от площади налива);

в) недостаточной длительностью опыта, в частности, в условиях гетерогенных пород, коща водой успевают заполниться только наи­более крупные водопроводящие поры, а насыщение более мелкой «поровой матрицы» происходит в продолжение всего эксперимента.

ВОПРОС. Под влиянием каких сил вода из вертикального про­водящего канала поступает в окружающие мелкопористые блоки? Как эти силы зависят от влажности блоков?

В однородных гомогенных грунтах неполное насыщение может быть ориентировочно учтено на базе контрольных определений влажности пород в зоне увлажнения. В слоистых грунтах, при прове­дении достаточно длительных опытов, наименее проницаемые слои оказываются обычно в водонасыщенном состояний, так что при на­личии точечных пьезометров в зоне увлажнения, позволяющих оп­ределить истинное значение градиента (см. ниже), и при условии количественного учета величины бокового растекания может быть найдена проницаемость этих слоев.

Влияние же последнего из упомянутых выше факторов — вре­менного — может быть устранено или ограничено лишь увеличением длительности эксперимента. Тоща, например, можно осуществить предварительное длительное замачивание опробуемого грунта, про­водя основной эксперимент после некоторого перерыва или без пере­рыва, но используя «меченую» воду.

ВОПРОС. Влияние каких из перечисленных выше факторов снижает или устраняет такое замачивание?

ЗАДАЧА. Длительный налив производится с постоянным напо­ром в трехслойную толщу (см. рис. 6.26,6). Почему в конце налива суглинок будет находиться в состоянии, близком к полному водона- сыщению? Как качественно связаны между собой проницаемость

суглинков и предельный радиус бокового растекания воды по их кровле? В какую сторону изменяется градиент напоров при переходе от верхних песков к суглинкам? Какие пески лучше пропускают воду в условиях налива — верхние или нижние (считая их идентичными по составу и проницаемости)? Как изменится ситуация, если сугли­нок залегает сверху (рис. 6.27) и при какой минимальной глубине воды в шурфе Л еще возможно тоща существование насыщенного

min

потока в песках? Для ответа на последний вопрос составьте выраже­ние для расхода насыщенного потока через двухслойную толщу и приравняйте его к расходу нижнего слоя при градиенте, равном еди­нице; в итоге получите:

Рис. 6.27. Схема оценки условий образования насыщенного потока при наливе в двухслойную толщу

I 3 I При пренебрежении боковым растеканием и диффузион­ными эффектами (см. ниже) расчетный градиент фильтрации под шурфом равен:

А_ш+1+%

¹ I ’ (6.83)

гае I — длина зоны просачивания;

— высота всасывания на фронте просачивания; объясните

физический смысл формулы (6.83), ориентируясь на рис. 6.25.

ВОПРОС. Как изменяется градиент с ростом начальной влажно­сти W_о и с увеличением длины зоны просачивания?

Недоучет капиллярных эффектов вблизи фронта просачивания, отраженных членом (W), приводит к занижению расчетного гра­диента. При наливе в «сухие» грунты эти эффекты можно принять во внимание черезрасчетную высоту капиллярного поднятия h_k (Ч* ~ А^). В общем же случае для интерпретации налива необходи­ма опытная кривая зависимости всасывающего давления от влажно­сти для всех разновидностей грунтов в зоне налива. Другой путь — прямые замеры всасывающего давления на фронте увлажнения.

Значение капиллярных эффектов убывает с ростом размеров зоны увлажнения (продолжительности эксперимента).

Противоположным по своему эффекту является влияние подпо­ра на нижней границе зоны увлажнения, который может вызываться, в частности, трудностями вытеснения воздуха из-под шурфа. Значе­ние этого фактора растет с увеличением площади шурфа и с умень­шением проницаемости пород. Для учета подпора также необходим замер давления вблизи фронта просачивания.