Материал: 986

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

Выполнив преобразования, найдём

E0 T

Заметив, что v= c и Тmax= 2, получим

Сделаем подстановку числовых значений величин и произведём вычисления:

vmax 2 108 (2 0,51 1,24) 1,24 2,85 108 м/с. 0,51 1,24

Пример 10. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длинуволныдеБройля длядвухслучаев: 1)U1=51B; 2)U2=510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса Р и определяется формулой

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различ-

на для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы меньше её покоя) и для релятивистского случая (когда кинетичес-

кая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

56

где E0 = m0 c2 энергия покоя частицы.

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется в нерелятивистском случае

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1=51 B и U2=510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, какую из формул, (4) или (5), следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна

Te U .

Впервом случае T1 = e U1 =51 эВ =0,51 ·10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E0 = m0 c2=0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения

расчётов заметим, что T1=10-4m0 c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде

57

1 102 .

2

Так как Λ=2,43 пм (см. табл. 3), то

1 102 2,43 171пм. 2

Во втором случае кинетическая энергия

T2 eU2 510 кэВ 0,51 МэВ,

то есть равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что T2=0,51 МэВ = =m0 c2, по формуле (5) найдём

Подставим значение Λ и произведём вычисления:

2,43 1,40 пм.

Пример 11. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 3Li7 . Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); mp, mn, m – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё входила масса М нейтрального атома.

Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электрона, составляющих электронную оболочку атома:

58

Подставив в выражение (2) числовые значения масс (согласно данным справочных табл. 17 и 19), получим

m [3 1,00783 (7 3) 1,00867 7,01601] 0,04216 а.е.м.

Энергией связи Е ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с2 может быть выражен двояко:

c2 (3 108 )2 9 1016 м2/с2

m

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то

c2 931 МэВ/а.е.м.

С учётом этого формула (3) примет вид

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим

E 931 0,4216 39,2 МэВ.

59

5.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1.Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S =A+Bt2, где А=8 м; В= 2 м/с2.

Найти момент времени t, когда нормальное ускорение точки аn= 9 м/с2, скорость v, тангенциальное а и полное а ускорения точки в этот момент времени.

2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям х1 =

=А1t + В1t2 + С1t3 и х2 = А2t + В2t2 + С2t3, где А1 = 4 м/с; B1 = 8 м/с2;

С1= 16 м/с3; А2 = 2 м/с; B2= 4 м/с2; С2 = 1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.

3. Движения двух материальных точек выражаются уравне-

ниями х1=А1 + В1t+ С1t2 и х2=А2 + В2t+ С2t2, где А1=20 м; B1=2 м/с;

С1= 4 м/с2; А2=2 м; B2=2 м/с; С2=0,5 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

4. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид х = Аt + Вt3, где А = 3 м/с; B = 0,06 м/с3. Найти

скорость vи ускорение точки в момент времени t1=0 и t2=3 с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 3 с движения?

5. Точка движется по прямой согласно уравнению х=Аt + Вt3, где

А=6 м/с; B=0,125 м/с3. Определить среднюю скорость S точки в t

интервале времени от t1=2 c до t2=6 с.

6.Колесо турбины радиусом 1 м из состояния покоя приводят во вращение, при этом за одну минуту при равноускоренном движении оно достигло угловой скорости 24 рад/с. Определить угловое ускорение; число оборотов, которое сделает колесо за это время; линейную скорость точек обода колеса при этой угловой скорости.

7.Материальная точка движется в плоскости XY согласно уравнениям x = A1 + B1t + C1t2 и y = A2 + B2t + C2t2, где B1 = 7 м/с;

60