Материал: 986
Убедившись, что полученная единица (1 Н/м) является единицей измерения жесткости, можем подставить в формулу (4) числовые значения и произвести вычисления:
k |
2 0,02 9,81 5 |
196 Н/м. |
|
||
(0,1)2 |
|
|
Пример 3. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой m2.
Шары абсолютно упругие, |
удар прямой, центральный. Какую долю |
||||||||
своей кинетической энергии первый шар передал второму? |
|
||||||||
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, |
|||||||||
выразится соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
2 |
|
m2 |
|
2 |
|
||
|
|
m2u2 |
|
|
u2 |
|
(1) |
||
|
|
|
|
||||||
|
T1 |
2 |
|
m1 |
|
, |
|||
|
|
m1v1 |
|
v1 |
|
|
|||
где Т1 кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения надо найти u2 из законов сохранения: 1) закона сохранения импульса; 2) закона сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдём u2. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим
m1v1 m1u1 m2u2 . |
(2) |
По закону сохранения механической энергии
m1v12 |
|
m1u12 |
|
m2u22 |
. |
(3) |
2 |
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|||
Решая совместно уравнения (2) и (3), найдём
u2 2m1v1 .
m1 m2
Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на v1 и m1, получим
46
|
m2 |
2m1v1 |
2 |
4m1m2 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m1 m2) |
2 |
|||||
|
m1 v1 |
(m1 m2) |
|
|
|
||||
Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами.
Пример 4. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m1 = 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n =10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m2= 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса Lz системы платформа человек остается постоянным:
Lz Jz ω const, |
(1) |
где Jz момент инерции платформы с человеком относительно оси z;угловая скорость платформы.
Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому
Jz = J1 + J2 ,
где J1 момент инерции платформы; J2 момент инерции человека. С учетом этого равенство (1) примет вид
(J1 J2 ) ω const
или |
(J1 J2 ) ω (J1 |
J2 ) ω , |
(2) |
где значения величин без знака штриха относятся к начальному состоянию системы, со знаком штриха к конечному состоянию.
Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси z при переходе человека не изменяется.
J1 J1 1m1 R2.
2
47
Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека
J2 = m2 R2.
Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также выразим начальную угловую скорость вращения платформы с человеком через частоту вращения n ( =2 n) и конеч-
ную угловую скорость |
|
|
через |
|
линейную скорость v человека |
|||||||||||||||||
относительно пола |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
v |
||||
|
|
m R |
|
0 2 n |
|
|
|
m R |
|
m R |
|
|
|
. |
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
R |
||||||||
После сокращения на R2 и простых преобразований находим |
||||||||||||||||||||||
интересующую нас скорость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
v 2π n R |
m1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
m 2m |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим числовые значения физических величин в СИ и |
||||||||||||||||||||||
произведём вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
v |
2 3,14 |
1 |
1,5 |
|
|
|
180 |
|
|
|
|
1м/с. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
180 2 60 |
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 5. Точка совершает гармонические колебания с частотой =10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение xmax=1 мм. Написать уравнение колебаний точки.
Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде
|
x Asin(ωt 1) |
(1) |
или |
x Acos(ωt 2), |
(2) |
где А амплитуда колебаний; циклическая частота; t время; 1 и 2 начальные фазы, соответствующие форме записи (1) и(2).
48
По определению, амплитуда колебаний |
|
A = xmax . |
(3) |
Цикличная частота связана с частотой соотношением |
|
= 2 . |
(4) |
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать форму (1), то начальную фазу можно определить из условия:
в момент времени t=0
откуда |
|
xmax Asin 1, |
||||
|
|
|
xmax |
|
||
|
|
arcsin |
arcsin1 |
|||
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
A |
|
|
|
|
π |
|||
или |
(2k 1) |
|
(k 0,1,2, ). |
|||
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Изменение фазы на 2 не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять
|
|
|
|
|
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
В случае второй формы записи получаем |
||||||
|
|
|
arccos |
xmax |
arccos 1 |
||
|
2 |
A |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
или |
2 |
2 k |
|
|
|
(k 0,1,2, ). |
|
По тем же соображениям, что и в первом случае, находим
2 0.
С учетом равенств (3) (6) уравнения колебаний примут вид:
x x |
sin 2π v t |
π |
|
|
2 |
||||
max |
|
|
(5)
(6)
иx x cos2π v t ,
max
где xmax = 1 мм =10-3 м; =10 Гц.
Пример 6. Два точечных электрических заряда Q1=1 нКл и Q2= 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить напряжённость E и потенциал поля, создаваемого
49
этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстояние r1= 9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряжённость Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряжённостей Е1 и Е2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
Е Е1 Е2 .
Напряжённость электрического поля, создаваемого в воздухе первым зарядом ( 1),
Q
E |
|
1 |
|
|
, |
(1) |
4π ε |
|
|
||||
1 |
|
r2 |
|
|||
вторым зарядом |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
(2) |
|||
4π ε |
|
|||||
2 |
r2 |
|
||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
Вектор Е1 направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд Q1 положителен; вектор Е2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как заряд Q2 отрицателен.
Абсолютное значение вектора Е найдём по теореме косинусов:
E E2 |
E2 |
2E E |
2 |
cos , |
(3) |
1 |
2 |
1 |
|
|
где угол между векторами Е1 и Е2, который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:
|
d2 |
r2 |
r2 |
|
cos |
|
1 |
2 |
. |
|
|
|
||
2r1 r2
В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:
cos (0,1)2 (0,09)2 (0,07)2 0,238. 2 0,09 0,07
Подставляя выражение E1 из формулы (1) и E2 из формулы (2) в
50