Материал: 722

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. Если e3 1, 2, , n − произвольное решение однородной системы, то e1 e3 1 1, 2 2, , n n будет удовлетворять системе неоднородных уравнений.

Если

ai1 1 ai2 2 ain n bi, ai1 1 ai2 2 ain n 0,

то ai1 1 1 ai2 2 2 ain n n bi 0 bi .

Таким образом, все решения неоднородной системы можно получить, прибавляя к любому её решению всевозможные решения соответствующей ей однородной системы.

Пример. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений и найти её фундаментальную систему решений:

x1 2x2 5x3 3x4 0,2x1 5x2 6x3 x4 0,

5x1 12x2 17x3 x4 0.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса.

1 2		5	3	0	1 2	5	3	0	1 2	5 3		0
	5	6				4	7			4	7
2			1 0 ~ 0 1					0 ~ 0 1				0 .
	12	17 1				8	14			0	0
5				0	0 2			0	0 0			0
	По	последней		матрице		системы		определяем		ранг	системы
r(A/ B) r(А) 2,					следовательно,			система		совместна		и

неопределённа. Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

x1 2x2 5x3 3x4 0,x2 4x3 7x4 0.

Принимая x3 и x4 за свободные переменные, получим

x1 13x3 17x4,

x2 4x3 7x4.

Тогда решение системы будет иметь вид

X x1,x2,x3,x4 X 13x3 17x4, 4x3 7x4,x3,x4 .

Найдём фундаментальную систему решений. Для этого полагаем,

что:

1)x3 1, x4 0, тогда x1 13, x2 4;

2)x3 0, x4 1, тогда x1 17, x2 7.

Это даёт нам фундаментальную систему решений e1 13, 4,1,0 , e2 17,7,0,1 . Тогда общее решение будет

e 1e1 2e2 13 1 17 2, 4 1 7 2, 1, 2 ,

где 1 и 2 − произвольные числа.

								Задачи для самостоятельной работы
	1.	Решить СЛАУ матричным способом:
								3x y 4,										x	x		2x			12,
						а)		3x y 4,										1		2			3
						а)											б) 2x1		10x2 x3 14,
								x 3y 4;										x 3x			2	4x		3	0.
																		1			2			3
	2.	Решить СЛАУ по формулам Крамера:																			10x			x							4x					1,
		4x 3y 23,														1 4x y,					10x			x							4x					1,
	а)	4x 3y 23,														1 4x y,			в)				1							2					3
	а)													б)					в)		x1 2x2 7x3 3,
		3x 11y 4;														2 y x y;						2x x						2			5x			3		0.
																						1						2						3
	3.	При				каком								значении a			система				7x ay 0,														не имеет
	3.	При				каком								значении a			система					7ax y 3													не имеет
решений?																						7ax y 3
решений?
	4.	Решить СЛАУ методом Гаусса:																		3x1 x2 x3 x4 5,
4x1 x2						2x3					10,									3x1 x2 x3 x4 5,
4x1 x2						2x3					10,											x1 x2 3x3 2x4 4,
											1,								б)			x1 x2 3x3 2x4 4,
а) x1 3x2 x3											1,								б)			x2 2x3 x4 8,
	3x x				2	5x				3	1;											x2 2x3 x4 8,
		1			2					3										6x x					2			12x						3	8x		4	3;
																						1			2									3			4
	2x1 3x2 x3										6x4 16,										x1 x2								3x3 2x4									4,
	x1 4x2 6x3 18x4 3,																					x1 x2 x3 6,
в)	x1 4x2 6x3 18x4 3,																		г)			x1 x2 x3 6,
	3x		2x				2	8x				3		17x	4	11,						x x				3			x			4	1,
		1					2					3			4							1				3						4
	x x			2	x			3	x				4	7;							2x x						2			4x				3	3x		4	1.
	1			2				3					4									1					2							3			4

5. Решить матричные уравнения:

	1	3	X		5	4	;
a)			X				;
2		7		2		1

3	7	9	4	5	4
б)		X			.
2	5	4	2	7	6

6. Решить однородную систему линейных уравнений и найти её фундаментальную систему решений:

x1 x2 x3 x4 0,																x1 2x2 4x3 3x4 0,
	x1 x2			x3 x4 0,													3x1 5x2			6x3		4x4 0,
	x1 x2			x3 x4 0,													3x1 5x2			6x3		4x4 0,
a)	2x 3x				x			x				0,				б)	4x 5x			2x		3x		0,
	2x 3x			2	x		3	x		4		0,					4x 5x		2	2x	3	3x	4	0,
	1			2			3			4							1		2		3		4
3x 2x		2			x	3		2x			4		0;			3x 8x		2	24x		3	19x		4	0;
	1	2				3					4						1	2			3			4
x1 x2 3x3 x5 0,
	x1 x2		2x3					x4 0,
	x1 x2		2x3					x4 0,
в)	4x 2x				6x				3x					4x		0,
	4x 2x		2		6x			3	3x				4	4x	5	0,
	1		2					3					4		5
2x 4x			2		2x			3	4x				4	7x	5	0.
	1		2					3					4		5

Глава 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 1. Основные понятия

Определение. Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2, …, xn называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Введём следующие обозначения: коэффициент при xi2			обозначим
через aii, а при произведении xixj ,		где i j − через	2aij . Тогда
справедливы следующие равенства:
aij aji,	2aijxixj	aijxixj ajixjxi .
Тогда квадратичную форму можно записать в виде суммы
всевозможных членов aijxixj ,	где i	и j независимо друг от друга
принимают значения от 1 до n, т.е.

													n	n
						f (x1,x2, ,xn) aijxixj .
													i 1j 1
Следовательно, квадратичная форма от двух переменных будет
иметь вид										) a x2										x2 ,
					f (x ,x			2		) a x2			2a x x		2	a			22	x2 ,
						1		2			11	1	12	1	2				22	2
квадратичная форма от трех переменных
f (x ,x		2	,x	3	) a x2 a				22		x2 a	33	x2 2a x x				2	2a x x				3	2a	23	x	2	x	3	.
1		2		3	11	1			22		2	33	3	12	1		2			13	1	3		23		2		3
Из коэффициентов aij									можно составить квадратную матрицу по-
рядка n:	A aij . Ранг							данной				матрицы				r(A) называют рангом
квадратичной					формы.		Если					r(A) n,			то				матрица				является

невырожденной, и квадратичную форму также называют невырож-

денной.

В матрице A элементы симметричны относительно главной диагонали, т.к. aij aji. Значит, матрица A является симметричной.

Очевидно, что для любой симметричной матрицы можно составить вполне определённую квадратичную форму, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.

Пример. Составить матрицу квадратичной формы:

f (x ,x	2	,x	3	) 2x2 5x2		3x2		2x x		2	4x x		3	2x	2	x		3	.
1	2		3	1	2		3	1		2		1	3		2			3
Решение. Здесь				a11 2,	a22 5,			a33 3,				2a12 2,					2a13 4,
2a23 2. Следовательно, a12					a21		1,	a13 a31				2, a23					a32			1.
Матрица квадратичной формы:					2		1	2
					2		1	2
							5	1
				A 1			5	1	.
							1	3
					2		1	3

§2. Приведение квадратичной формы

кканоническому виду

Рассмотрим теорию приведения квадратичной формы к каноническому виду на примере квадратичной формы от двух переменных.

Квадратичную форму от двух переменных можно записать в виде

f (x1,x2) a11x12 2a12x1x2 a22x22 a11x1 a12x2 x1 a12x1 a22x2 x2.

Выпишем			матрицу квадратичной			формы:		a	a
Выпишем			матрицу квадратичной			формы:		A 11	12		.
								a	a	22
					x			12		22
Обозначим			матрицу-столбец	X	x		и	матрицу-строку
Обозначим			матрицу-столбец	X	1		и	матрицу-строку

XТ x x		,			x2
XТ x x	2	,	тогда квадратичную		форму		можно записать				в
1	2

матричном виде: f x1,x2 XТ A X .

Действительно, по правилу умножения матриц имеем:

					A X				a					a			x							a x a x									2
					A X					11				a	12					1					11 1					12			2	,
									a					a	22		x			2				a x a							22	x	2
										12					22					2					12 1						22		2
XТ A X x					x		a		x		a				x	2			a x a x											x a x a							x		x		.
XТ A X x					x	2		11 1					12			2			a x a x										2	x a x a						22	x	2	x	2	.
			1			2	a x a								x					11 1						12			2	1				12 1		22		2		2
								12 1						22		2
	Пусть переменные x1										и x2				есть координаты произвольной точки
M в системе координат Ox1x2 . Тогда																					f x1,x2 есть значение формы
f	в точке		M .		Перейдём								к		новой						системе								координат						Oy1y2				по
формулам перехода:												x						y							y		,
												x						y							y		,
														1				11	1				12			2
												x2 12 y1 22 y2,
где	x1, x2 −		старые,					а	y1,			y2			−		новые координаты одной и той же
точки;				11			12		−			матрица									преобразования.													Матрица						L
точки;		L		11			12		−			матрица									преобразования.													Матрица						L
						22
		12				22
является симметричной, следовательно, L LT .
	Тогда формулы перехода в матричной форме можно записать
									X L Y , где																y
									X L Y , где												Y						1	.

																									y2
	Если вместо переменных x1																и x2 в квадратичную форму подста-
вим выражения через									y1			и		y2,				то получим квадратичную форму
f y1, y2 от переменных y1												и y2.
	Пример. Пусть						f (x ,x				2	) 6x2						2x x				2		5x2, а старые координаты
									1		2						1				1	2					2

выражаются через новые по формулам: x1 y1 y2,

x2 y1 y2.

Тогда f y1, y2 6 y1 y2 2 2 y1 y2 y1 y2 5 y1 y2 2

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11