Материал: 6251
Пусть имеется полная группа несовместимых событий A1, A2,...,Ak и
связанное с этими событиями событие B. Тогда справедлива формула Байеса
P(A / B)= |
P(Ai )P(B/ Ai ) |
= |
P(Ai )P(B/ Ai ) |
|
. |
(3.1.1) |
|
P(B) |
|
|
|
||||
i |
|
k |
)P(B/ Ai |
|
|
|
|
|
|
|
∑P(Ai |
) |
|
||
i=1
Здесь P(Ai /B) – апостериорная (буквально – после опыта) вероятность, P(Ai )и P(B/ Ai ) – априорные (до опыта) вероятности.
3 . 1 . 2 . Случайные величины
Следующая по сложности конструкция в мире случайностей – случайная величина. Это такая величина, которая в результате эксперимента принимает одно и только одно значение из некоторого множества возможных значений. Чтобы охарактеризовать случайную величину X, требуется, прежде всего, задать это множество.
Если множество возможных значений x1, x2, …, xn случайной величины X конечно ( n < ∞ ) или счётно ( n = ∞ ), задаются вероятности появления каждого её значения − P(x1), P(x2 ),...P(xn ). Ясно, что события X=xk
для разных k образуют полную группу несовместимых событий.
Если множество возможных значений случайной величины X континуально, применяется другая форма описания её характеристик. Наиболее общей формой такого описания является функция распределения
F(x), называемая ещё интегральным законом распределения. Функция распределения F(x) по определению есть зависимость вероят146
ности того, что случайная величина примет значение, меньшее значения аргумента x, от этого аргумента
F(x)= P(X < x). |
(3.1.2) |
Интегральный закон распределения − монотонная неубывающая функция своего аргумента.
Если область задания случайной величины X − вся вещественная ось, то функция F(x) является непрерывной, при этом F(−∞)=0, F(+∞)=1. Для непрерывной случайной величины можно взять производную от F(x) по x
p(x)= |
dF(x) |
, |
(3.1.3) |
|
|||
|
dx |
|
|
где p(x) называется плотностью распределения |
вероятности |
||
(или просто плотностью вероятности) или дифференциальным законом распределения.
Величина p(x)dx есть вероятность попадания случайной величины в интервал x ≤ X < x + dx . Очевидное условий нормировки для плотности распределения
∞∫ p(x)dx = 1.
−∞
Вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b) равна
P(a ≤ X < b)] = ∫b p(x)dx = F(b)− F(a).
a
147
Важными характеристиками случайной величины являются её моменты. Начальным моментом k-го порядка называется постоянное число
αk = ∞∫ xk p(x)dx .
−∞
Самыми часто употребляемыми являются момент первого порядка α1 , называемый математическим ожиданием или средним значением случайной величины X
α1 = mX |
= M (X )= ∞∫ xp(x)dx , |
(3.1.4) |
|
−∞ |
|
и средний квадрат |
|
|
α2 = M (X 2 )= ∞∫x2 p(x)dx . |
(3.1.5) |
|
|
−∞ |
|
Центральным моментом |
k-го порядка называется неслучайное |
|
число µk |
|
|
µk = M ((X − mX )k )= ∞∫(x − mX )k p(x)dx .
−∞
Важнейшим из них является момент второго порядка – дисперсия
DX = µ2 = M ((X − mX )2 )= ∞∫(x − mX )2 p(x)dx . |
(3.1.6) |
−∞ |
|
148
Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением
σX = 
DX .
Для нескольких случайных величин может быть определен как интегральный, так и дифференциальный законы распределения, задаваемые формулами, аналогичными формулам (3.1.2) и (3.1.3). Так, например, плотность совместного распределения случайных величин X1, X2,...,Xn ,
помноженная на бесконечно малые приращения переменных − p(x1, x2,...,xn )dx1dx2...dxn , − есть вероятность сложного события, заключающегося в том, что величина X1 попадёт в интервал x1 ≤ X1 < x1 + dx1 ,
X2 – в интервал x2 ≤ X2 < x2 + dx2 , и т.д. до попадания величины Xn в интервал xn ≤ Xn < xn + dxn .
Можно определить также математическое ожидание величины Xk (k=1, 2, …,n)
mX k = M (Xk )= ∞∫ ... ∞∫ xk p(x1, x2 ,...xn )dx1dx2...dxn
−∞ −∞
и центральные моменты второго порядка
M jk = ∞∫ |
... ∞∫(xj − M (X j )) (xk − M (Xk ))p(x1, x2 ,...xn )dx1dx2...dxn . |
−∞ |
−∞ |
149
Последнее выражение при j=k задает дисперсию, а при j ≠ k получа-
ем ковариацию случайных величин Xj и Xk . Ковариация является мерой статистической зависимости упомянутых случайных величин: если величины Xj и Xk независимы, ковариация равна нулю1. Удобно использовать также безразмерный коэффициент
Rjk = |
|
M jk |
|
, |
|
|
|
|
|||
M jjMkk |
|||||
|
|
|
|
который называется коэффициентом корреляции.
3 . 1 . 3 . Случайные про цессы
Случайной функцией называется функция, которая при каждом значении аргумента является случайной величиной. Если независимым аргументом является время, то такая функция называется случайным процессом (другие названия – вероятностный или стохастический процесс). Привычное обозначение детерминированной функции времени x(t) подразумевает, что каждому значению времени t соответствует определенное значение x. В стохастических процессах, протекающих в однотипных системах при неизменных условиях, в каждом эксперименте будут получаться разные функции x(t) – разные экземпляры (реализации) стохастического процесса. Предсказать заранее, какова будет реализация случайного процесса в конкретном эксперименте, невозможно. Можно найти только статистические, усредненные характеристики множества реализаций стохастического процесса.
1 Обратное, вообще говоря, неверно, потому, что ковариация является мерой только линейной статистической связи двух случайных процессов.
150