Документ: 3322, страницы 21-25 | Студенческое хранилище

21

Таблица 5.2

t

yt

yt−2

yt − y3

yt−2 − y4

(yt − y3 )×

(y

− y

)2

(yt −2 − y4 )

2

×(yt−2 − y4 )

t

3

1

2

3

4

5

6

7

8

1

–

2

…

Сумма

Среднее

–

значение

Таблица 5.3

Коэффициент автокорреляции уровней

Лаг

1

2

…

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 6 Анализ аддитивных и мультипликативных моделей временных рядов

Цель работы: построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда и сделать прогноз его показателей.

Теоретические сведения
Общий вид аддитивной модели временного ряда
Y =T + S + E ,	(6.1)

где T – трендовая составляющая, S – сезонная составляющая, E – случайная составляющая.

22
Общий вид мультипликативной модели
Y =T S E .	(6.2)

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2.Расчет значений сезонной компоненты S .

3.Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E ) в аддитивной или (T E ) в мультипликативной модели.

4.Аналитическое выравнивание уровней (T + E ) или (T E ) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5.Расчет полученных по модели значений (T + E ) или (T E ).

6.Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Задание к работе

1. Построить аддитивную модель временного ряда для исходных данных к работе (см. прил. 1).

1.1. Провести выравнивание исходных данных ряда методом скользящей средней. Расчет оформить в виде табл. 6.1.

1.1.1. Просуммировать уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (столбец 3 табл. 6.1).

23

1.1.2.Разделив полученные суммы на 4, найти скользящие средние (ст. 4 табл. 6.1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.1.3.Найти центрированные скользящие средние, приведя скользящие средние значения в соответствие с фактическими моментами времени. Для этого необходимо найти средние значения из двух последовательных скользящих средних (ст. 5 табл. 6.1).

1.1.4.Найти оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.1) как разность между фактическими уровнями ряда (ст. 2 табл. 6.1) и центрированными скользящими средними (ст. 5 табл. 6.1).

Таблица 6.1

Итого за

Скользящая

Центрированная

Оценка сезонной

t

y

четыре

средняя за

четыре

скользящая средняя

компоненты

квартала

1

2

3

4

5

6

1

y1

–

4

1

4

2

y2

∑yi

–

i=1

4

i=1

5

4

5

1

4

5

3

y3

∑yi

1

∑yi

1

∑yi

+ ∑yi

y3 −

∑yi + ∑yi

2

4

2

i=2

i=1

i=2

i=1

i=2

6

1

6

1

5

6

1

5

6

4

y4

∑yi

4

∑yi

+ ∑yi

y4

−

∑yi +∑yi

2

i=3

i=2

i=3

i=2

i=3

7

1

7

1

6

7

1

6

7

5

y5

∑yi

4

∑yi

2

∑yi

+ ∑yi

y5

−

∑yi +∑yi

2

i=4

i=3

i=4

i=3

i=4

…

1.2. Используя оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.1) рассчитать значения сезонной компоненты S. Расчет оформить в виде табл. 6.2.

1.2.1.Найти средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si .

1.2.2.Найти корректирующий коэффициент k , используя следующее вы-

ражение

24


k = 1		4
		∑			(6.3)
				Si .
4			i=1
1.2.3. Рассчитать скорректированные значения сезонной компоненты Si ,
используя выражение
Si =					(6.4)
	Si − k .

1.2.4. В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Поэтому, необходимо проверить равенство нулю суммы значений сезонной компоненты Si , и прокомментировать полученный результат.

						Таблица 6.2
					№ квартала, i
Показатели		Год			№ квартала, i
Показатели		Год	I	II	III	IV
			I	II	III	IV
Оценка сезонной		2006
Оценка сезонной		2007
компоненты		2008
		2009
Всего за i-й квар-
тал
Средняя оценка
сезонной компо-
ненты для i -го
квартала,
квартала,	Si

Скорректированная сезонная компо-

нента, Si

1.3.Исключить влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда (ст. 1, 2, 3 и 4 табл. 6.3). Полученные значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только трендовую T и случайную компоненту S ( y − Si =T + E ).

1.4.Определить трендовую компоненту T данной модели (ст. 5 табл. 6.3). Уравнение линии тренда имеет вид

T (t) = a +b t ,

(6.5)

где t – номер квартала.

25

Модель (6.5) фактически представляет собой линейное уравнение парной регрессии. Для нахождения параметры a и b данной модели используется МНК (см. лабораторную работу № 1). Для удобства необходимо составить табл. 6.4.

Таблица 6.3

t

y

Si

y − Si

T

T+S

E=y-(T+S)

E2

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

…

Таблица 6.4

№

t

y − Si

t (y − Si )

t 2

(y − Si )2

1

2

3

4

5

6

1

2

…

Сумма

Среднее

значение

Согласно МНК параметры a и b могут быть найдены из выражений

−

t (y − Si )

(y − Si ) t

a =(y − Si )−b t ,

b =

,

(6.6)

t 2

2

−t

n

1

n

1 ∑ti ,

(y − Si )=

1

∑(y − Si )i ,

t (y − Si )=

∑(y − Si )i ti , t

2

= 1 ∑ti 2 .

где t

=

n i=1

Подставляя в полученное уравнение значения t =1,2...16 , найти уровни T для каждого момента времени t, (ст. 5 табл. 6.3).

1.5.Найти значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого необходимо прибавить к уровням трендовой компоненты T значения сезонной компоненты S для каждого квартала (ст. 6 табл. 6.3).

1.6.На одних координатных осях построить графики зависимости фактических значений уровней временного ряда y (ст. 2 табл. 6.3) и теоретических T+S (ст. 6 табл. 6.3) от соответствующих кварталов t (ст. 1 табл. 6.3).

Материал: 3322

Смотрите также: