Документ: 3322, страницы 11-15 | Студенческое хранилище

11

3. Аналогично с п. 1 построить и провести анализ нелинейной степенной функции yx = a xb , при этом для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.2 (см. теоретические сведения).

4.Сравнить построенные в п. 1, п. 2, п. 3 модели по индексу детерминации

исредней ошибке аппроксимации, составив табл. 2.3.

			Таблица 2.3

Модель	Индекс детерминации, ρxy	2	Средняя ошибка аппроксимации,		, %
Модель	Индекс детерминации, ρxy	2	Средняя ошибка аппроксимации,	A	, %
yx = a + b ln x
yx = a + b	x

yx = a xb

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 3 Построение линейной модели множественной регрессии

Цель работы: на основе исходных данных построить линейную модель множественной регрессии.

Теоретические сведения

Линейная модель множественной регрессии имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 +... + bm xm ,

(3.1)

где y x – зависимая переменная (результативный признак); x1 , x2 , … , xm – независимые переменные (признак факторы).

12

Уравнение (3.1) позволяет по заданным значениям факторов x1 , x2 , … , xm находить теоретические значения результативного признака y x , подставляя в него фактические значения факторовx1 , x2 , … , xm .

Построение линейной модели множественной регрессии сводится к оценке ее параметров – a , b1 , b2 , … , bm . Для оценивания параметров линейной множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу параметры a , b1 , b2 , … , bm находятся из решения системы линейных уравнений

		n		n		n	n
a n + b1		∑x1i + b2	∑x2i		+... + bm	∑xmi	= ∑yi ;
		i=1		i=1		i=1	i=1
	n	n			n		n		n
a ∑x1i		+ b1 ∑x1i x1i		+ b2 ∑x1i x2i		+ ... +bm ∑x1i xmi		=	∑x1i yi ;	(3.2)
	i=1	i=1			i=1		i=1		i=1	(3.2)
...............................................................................................
	n	n			n		n		n
	n	n			n		n		n
a ∑xmi		+ b1 ∑xmi x1i + b2 ∑xmi x2i + ... +bm ∑xmi xmi							= ∑xmi yi ,
	i=1	i=1			i=1		i=1		i=1

где n – число наблюдений.

Двухфакторная модель линейной множественной регрессии (3.1) имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 .

(3.3)

Система уравнений для оценивания параметров двухфакторной модели (3.3) построенная на основе МНК согласно (3.2) будет иметь вид

		n	n	n
a n + b1		∑x1i + b2	∑x2i	= ∑yi ;
		i=1	i=1	i=1
	n	n		n	n
a ∑x1i		+ b1 ∑x1i x1i + b2		∑x1i x2i	= ∑x1i yi ;	(3.4)
i=1		i=1		i=1	i=1
	n	n		n	n
a ∑x2i		+ b1 ∑x2i x1i + b2		∑x2i x2i = ∑x2i yi ,
	i=1	i=1		i=1	i=1

Решая систему уравнений (3.4) относительно параметров a , b1 и b2 получим

b

=

σ y

ryx1 − ryx2 rx1x2

, b

=

σ y

ryx2 − ryx1 rx1x2

σx

1 − r 2 x1x2

1

1 − r 2 x1x2

2

σx

2

,

1

a = y − b1 x1 − b2 x2

(3.5)

13

где r

yx

=

x1 y

− y x1

, r

yx

=

x2 y

− y x2

, r

x x

=

x1 x2

− x1

x2

,

σ y σx

σx

1

2

1

2

1

2

1

2

σ

y

= y 2 − y 2 , σ

x

= x 2

− x 2 ,

σ

x

= x

2

− x

2 .

1

2

1

Линейное уравнение множественной регрессии в стандартизированном

масштабе будет иметь вид

ty = β1

tx

+ β2

tx +...+ βm tx

,

(3.6)

1

2

m

где

t y , tx

, tx

,

… , tx

–

стандартизированные

переменные: t y =

y − y

,

m

1

2

σ y

tx

=

xi − xi

, для которых среднее значение равно нулю: t

y = t x

= 0 , а среднее

i

σx

i

квадратическое отклонение равно единице:

σt

=σt

=1; βi –

стандартизиро-

y

xi

ванные коэффициенты регрессии.

Двухфакторная модель линейной множественной регрессии в стандартизи-

рованном масштабе (3.6) имеет вид

t y = β1

tx + β2

tx

.

(3.7)

1

2

Метод наименьших квадратов, также справедлив для нахождения стандар-

тизованных коэффициентов регрессии. Эти коэффициенты показывают, на сколько единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор xi изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов.

Коэффициенты «чистой» регрессии bi связаны со стандартизованными ко-

эффициентами регрессии βi следующим соотношением
b = β		σ y	.	(3.8)

i	i σx
		i

Используя соотношение (3.8), можно переходить от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе (3.7) к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных (3.1), при этом параметр a определяется как

a = yx − b1 x1 − b2 x2 −... − bm xm .

(3.9)

Частные коэффициенты эластичности определяются из выражения

14

Э	yxi	= b	xi	,	(3.10)

		i
			yxi

где bi – коэффициент регрессии для фактора xi в уравнении множественной регрессии, yxi – частное уравнение регрессии, которые связывает результатив-

ный признак с соответствующим фактором xi при закреплении остальных фак-

торов на среднем уровне.

Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены

средние по совокупности коэффициенты эластичности
			=b		xi		,	(3.11)
	Э	yxi		i	xi
	Э				yx

						i
						i

которые показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1 %.

Задание к работе

1. Для удобства проводимых в ходе выполнения работы вычислений составить табл. 3.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).

Таблица 3.1

№	x1	x2	y	x	2	x	2	y 2	x1 x2	x1 y	x2 y	y x
					1		2
1	2	3	4	5			6	7	8	9	10	11
1
2
…
Сумма
Среднее
значение
σ

Примечание: столбец 11 заполняется после выполнения п.2 задания к работе.

2. Построить двухфакторную линейную модель множественной регрессии y x от x1 и x2 вида (3.3), найдя её параметры a , b1 , b2 из выражений (3.5).

3. Сделать переход от построенной в п. 1 двухфакторной линейной модели множественной регрессии к модели в стандартизированном масштабе t y от tx1

и t x2 вида (3.7), найдя её параметры β1 , β2 , используя выражение (3.8).

15

4.На основе построенной в п.2 линейной модели множественной регрессии

встандартизированном масштабе t y , провести анализ степени влияния каждого

из стандартизированных факторов tx1 и t x2 на результативный признак.

5. Провести анализ степени влияния каждого из факторов x1 и x2 на результативный признак, на основе среднего коэффициента эластичности (3.11).

Содержание отчета

•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.

•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.

•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.

•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.

Лабораторная работа № 4 Проверка существенности факторов и показатели качества

уравнения множественной регрессии

Цель работы: оценить качество уравнения множественной регрессии построенного в лабораторной работе № 3.

Теоретические сведения

Линейная модель множественной регрессии имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 +... + bm xm ,

(4.1)

где y x – зависимая переменная (результативный признак); x1 , x2 , … , xm – независимые переменные (признак факторы).

Двухфакторная модель линейной множественной регрессии (4.1) имеет вид

yx = a + b1 x1 + b2 x2 .

(4.2)

Для двухфакторной модели (4.2) парные коэффициенты корреляции вычисляются по следующим формулам

− y x1

; r

x2 y

− y x2

; r

=

x1 x2

− x1

x2

r

=

x1 y

yx

=

(4.3)

yx

σy σx

σ y σx

x x

σx σx

1

2

1

2

1

2

1

2

Материал: 3322

Смотрите также: