Материал: 3322
6
этому он дополняется расчетом стандартной ошибки yпр , т.е. myпр , и соответст-
венно интервальной оценкой прогнозного значения yпр
yпр − yпр ≤ yпр ≤ yпр + yпр , |
(1.14) |
где yпр = myпрtтабл; myпр – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения
1 |
|
(xпр − x)2 |
|
||
myпр = Sост 1 + n |
+ |
|
|
. |
(1.15) |
n σx |
2 |
||||
Задание к работе
1. Для удобства проводимых в ходе выполнения работы вычислений составить табл. 1.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x |
y |
x y |
x 2 |
y 2 |
y x |
y − y x |
(y − yx )2 |
Ai ,% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
σ 2
Примечание: столбцы 7, 8, 9 заполняются после выполнения п.2 задания к работе, столбец 10 после п.3.
2. Построить линейное уравнение парной регрессии y x от x вида (1.1), найдя его параметры a и b из выражений (1.3).
3.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции (1.4), коэффициент детерминации (1.5) и ошибку аппроксимации (1.6).
4.Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F- критерия (1.7) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).
5.Оценить статистическую значимость параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента. Необхо-
7
димо рассчитать фактические значения t-критерия для a , b и rxy (1.11), (1.12) и
(1.13) и сравнить их с табличным значением (см. приложение 2). Далее рассчитать доверительные интервалы параметров регрессии a и b.
6. Выполнить прогноз yпр при прогнозном значении xпр , составляющем
D, % от среднего уровня x . Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза (1.15) и его доверительный интервал (1.14).
7. На одном графике построить исходные данные (зависимость y от x ) и теоретическую прямую (рассчитанную по модели 1.1).
Содержание отчета
•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.
•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.
•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.
•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.
Лабораторная работа № 2 Построение и анализ нелинейной модели парной регрессии
Цель работы: на основе исходных данных построить и провести анализ нелинейных моделей парной регрессии.
Теоретические сведения
Регрессионные модели нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью МНК. Рассмотрим некоторые функции.
Нелинейная логарифмическая функция
yx = a + b ln x |
(2.1) |
приводится к линейному виду с помощью замены |
|
z = ln x . |
(2.2) |
В результате подстановки получается уравнение |
|
8 |
|
yz = a + b z . |
(2.3) |
Оценка параметров полученной линейной модели (2.2) проводится при помощи МНК.
Согласно данному методу параметры a и b находятся из решения системы линейных уравнений
|
n |
|
n |
|
|
a n +b ∑zi = ∑yi ; |
|
||||
|
i=1 |
i=1 |
|
(2.4) |
|
|
n |
n |
|
n |
|
a ∑zi +b |
∑zi |
2 |
= ∑zi yi , |
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
|
где n – число наблюдений.
Решая систему уравнений (2.4) относительно параметров a и b получим
|
|
|
|
a = y −b z , b = |
|
|
|
|
− y z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
z y |
|
, |
(2.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z2 − z 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
1 |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где z = 1 ∑zi , |
y = |
∑yi , |
z y |
= 1 ∑yi zi , |
z2 |
= 1 ∑zi |
2 . |
|
|||||||
|
|
||||||||||||||
n i=1 |
|
n i=1 |
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
Нелинейная степенная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
yx = a xb |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
|
приводится к линейному виду логарифмированием |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ln yx = ln(a xb ); ln yx |
= ln a + b ln x . |
(2.7) |
||||||||||
Делая следующие подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Y =ln y ; |
X =ln x ; |
A =ln a , |
(2.8) |
||||||||
получаем линейное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Yx |
= A + b X . |
|
|
(2.9) |
||||||
Параметры модели (2.9) оцениваются на основе МНК, путем решения системы уравнений аналогичной (2.4).
Параметр b модели (2.9) соответствует одноименному параметру модели
искомой модели (2.6), а её параметр a находится из выражений (2.8) |
|
a = AA . |
(2.10) |
Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции
9
где
σост
σy 2 = 1 ∑n ( yi −
n i=1
2= 1 ∑n ( yi − yxi
n i =1
ρxy = |
1 − |
σ |
ост |
2 |
, |
(2.11) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y)2 – общая |
дисперсия |
результативного признака y, |
|||||
)2 – остаточная дисперсия. |
|
||||||
Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака
ρxy |
2 =1 − |
σост |
2 |
= |
σобъясн |
2 |
, |
(2.12) |
||
|
|
σ |
2 |
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
где σобъясн |
2 |
= |
∑( yxi |
− y)2 . |
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом нелинейного уравнения регрессии по F-критерию Фишера
F = |
|
ρxy |
2 |
|
|
n − m −1 |
. |
(2.13) |
|
|
− ρxy |
2 |
m |
|
|||||
1 |
|
|
|
||||||
где ρxy2 – индекс детерминации, n – число наблюдений, m – число параметров
при переменной x. Фактическое значение F-критерия (2.13) сравнивается с табличным при уровне значимости α и числе степеней свободы k1 = m (для факторной суммы квадратов) и k2 = n − m −1 (для остаточной суммы квадратов).
Задание к работе
1. Построить и провести анализ нелинейной логарифмической функции yx = a + b ln x .
1.1.Для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1, на основе исходных данных к работе (см. прил. 1).
1.2.Построить нелинейное логарифмическое уравнение парной регрессии yx от x вида (2.1), найдя его параметры a и b из выражений (2.5), предвари-
тельно сделав замену (2.2).
10
Таблица 2.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
x |
z |
y |
z y |
z2 |
y 2 |
y x |
y − y x |
(y − yx )2 |
Ai ,% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
σ 2
Примечание: столбцы 8, 9, 10 заполняются после выполнения п.1.2 задания к работе, столбец
11 после п.1.3.
1.3.Рассчитать индекс корреляции (2.11), индекс детерминации (2.12) и ошибку аппроксимации (1.6).
1.4.Оценить статистическую значимость полученного уравнения регрессии в целом на основе F-критерия Фишера. Необходимо рассчитать фактическое значение F-критерия (2.13) и сравнить его с табличным значением (см. прил. 2).
1.5.Построить на графике исходные данные (зависимость y от x ) и тео-
ретическую кривую (рассчитанную по модели 2.1).
2. Аналогично с п. 1 построить и провести анализ нелинейной функции с квадратным корнем вида yx = a + b 
x , при этом для удобства проводимых вычислений составить табл. 2.1.
Таблица 2.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X |
Y |
X Y |
X 2 |
Y 2 |
yx |
y − y x |
(y − y x )2 |
Ai ,% |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
σ2