Материал: 2471

1. 2 4KM 0, следовательно, характеристическое уравнение

где С1, С2 − константы.

3. 2 4KM 0, следовательно, характеристическое уравнение имеет 2 комплексных сопряженных корня

В этом случае решение уравнения (3.24) будет иметь вид (см.

где С1, С2 − константы.

Усложним задачу тем, что нижняя точка пружины амортизатора совершает вертикальное движение по закону z = (t). Нижний конец

203

пружины (амортизатора) прикрепим к колесу автомобиля, которое вместе с пружиной движется по неровности (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Движение пружины с грузом и колеса по неровной дороге

В этом случае восстанавливающая сила будет равна не К у, а −К [у + (t)], сила сопротивления будет λ [у/+ /(t)] и вместо уравнения (3.23) получим уравнение

После преобразования выражения (3.25) получим

где f (t) [К (t) / (t)]/ .

Полученное выражение (3.26) является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Уравнение (3.24) представляет собой уравнение свободных колебаний, а уравнение (3.26) уравнение вынужденных колебаний.

204

Контрольные вопросы

1.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.

2.Что такое порядок дифференциального уравнения?

3.Что называют решением дифференциального уравнения?

4.В каких областях знаний применяются дифференциальные уравнения?

5.Приведите примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнени-

ям.

6.Уравнения какого вида называются уравнениями с разделяющимися пе-

ременными? Каким образом находят решения уравнений с разделяющи-

мися переменными?

7.Какие уравнения называют линейными дифференциальными уравнения-

ми первого порядка?

8.В чем заключается метод Бернулли решения линейных дифференциаль-

ных уравнений первого порядка?

9.На какие два вида делятся линейные дифференциальные уравнения пер-

вого порядка? От чего это зависит?

10.Уравнения какого вида называют дифференциальными уравнениями n-го порядка?

11.Функцию какого вида называют решением дифференциального уравне-

ния n-го порядка?

12.Какие уравнения называют линейными дифференциальными уравнения-

ми n-го порядка? В зависимости от чего они делятся на однородные и неоднородные?

13.Опишите алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения. Что такое характеристическое уравнение и как оно стро-

ится?

14.Опишите, каким образом находят решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

15.Приведите пример линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений, описывающих свободные и вынужденные колебания пружины при работе амортизатора. Для какой цели служит амортизатор, назовите принцип его работы?

205

4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ПОРШНЯ

СПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

Вдвигателях внутреннего сгорания процессы наполнения, сжатия, сгорания и выпуска отработавших газов являются неустановившимися и протекают за короткое время. Например, процесс сгорания топлива в цилиндре быстроходного двигателя протекает за время менее 0,002 с. Давление газов в цилиндре и его температура изменяются во времени. Скорость изменения любого процесса во времени можно оценить при помощи производной.

Для понятия производной рассмотрим движение толкателя 2 при вращении вала без кулачка и с кулачком (рис. 4.1). Толкатель применяют, например, для перемещения (открытия и закрытия) клапана ме-

ханизма газораспределения двигателя.

а) б)

Рис. 4.1. Механизмы привода толкателя

Из анализа рис. 4.1, а следует, что при вращении вала 1 путь толкателя 2 и его скорость будут равны нулю (наружная поверхность вала симметрична относительно оси вращения). Толкатель неподвижен даже при вращении вала, и производная постоянного числа будет равна нулю. На рис. 4.1, б показан вал 1, выполненный с кулачком. При вращении вала кулачок приводит в поступательное движение толкатель, изменяя его путь с учетом профиля. При этом изменяется и скорость толкателя 2. Скорость толкателя является первой производной пути по времени. В зоне вала, где нет кулачка, путь не изменяется, скорость толкателя и «производная» равны нулю.

В гл. 1 настоящего пособия было дано понятие производной функции в точке. Напомним его применительно к рассматриваемой ситуации. Итак, производной функции y f x в точке хо называется предел отношения приращения функции (например, перемещения

206

толкателя) y y1 y0 к приращению аргумента (например, углу поворота вала или времени) x x1 x0. При этом значение x1 стремится к величине хо, а приращение аргумента стремится к нулю (очень малой величине), но не достигает значения, равного нулю.

Физический смысл производной – это скорость изменения процесса, а геометрический – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в указанной точке к оси Ох (гл. 1). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета (например, приращения функции) к прилежащему (например, приращению аргумента).

4.1. Определение пути поршня

Центральным кривошипным шатунным механизмом (КШМ)

называется механизм, у которого ось цилиндра пересекает ось коленчатого вала. При помощи этого механизма давление газов в цилиндре двигателя передается на площадь поршня и его поступательное движение преобразуется во вращательное движение коленчатого вала (рис. 4.2). Работа газов (Дж) равна произведению давления в цилиндре (Н/м2) на изменение объема (м3).

Изменение направления движения поршня в цилиндре происходит в верхней и нижней мертвых точках. В мертвых точках скорость поршня равняется нулю, а ускорение достигает максимальной величины.

Отрезок ОВ является радиусом R

кривошипа, BA равен длине шатуна L, а угол поворота коленчатого вала

(см. рис. 4.2).

Верхней мертвой точкой (ВМТ)

называют крайнее положение поршня, при котором он максимально удален от оси коленчатого вала (точка А).

Нижней мертвой точкой (НМТ)

называют крайнее положение поршня в цилиндре, при котором он минимально

удалён от оси коленчатого вала (точка A ).

207