Материал: 2471

lnv Rt;

L

б) Чтобы найти u, решим уравнение u v U0 sin t , подста-

L

Rt

вив вместо v найденную в предыдущем пункте функцию v e L :

3.3. Дифференциальные уравнения высших порядков (линейные дифференциальные уравнения высших порядков

спостоянными коэффициентами)

Внастоящем пункте мы также рассмотрим не все типы дифференциальных уравнений высших порядков. Остановимся только на

193

линейных дифференциальных уравнениях высших порядков с постоян-

ными коэффициентами, поскольку они наиболее часто встречаются на практике, в частности, в гл. 9 настоящего пособия.

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n на-

зывается уравнение вида

Так же, как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

Определение. Решением дифференциального уравнения n-го порядка, как и уравнения первого порядка, называется дифференцируемая функция y y x , которая при ее подстановке в исходное уравнение обращает его в верное равенство.

Общее решение уравнения n-го порядка зависит от переменной x и n произвольных констант C1,C2,...,Cn, то есть имеет вид

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка с постоянными коэффициентами называется любое уравнение вида

где a1,a2,...an 2,an 1,an − некоторые действительные числа; функция f x задана и непрерывна в некотором интервале a;b . В случае, если f x 0, уравнение называется линейным однородным (или уравнением без правой части), если f x 0 − линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).

3.3.1.Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ), то есть уравнение вида

194

Для нахождения его частных решений составляем характери-

стическое уравнение

которое получается из исходного уравнения путем замены в нем производных искомой функции y на соответствующие степени k :

y n kn; y n 1 kn 1;...; y k2; y k; y 1. (3.16)

Полученное характеристическое уравнение является обычным алгебраическим уравнением n -й степени относительно k , а потому имеет n корней, действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.

Общее решение ЛОДУ имеет вид y C1y1 C2 y2 ...Cn yn (где C1,C2,...,Cn − произвольные постоянные) и строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения по следующему правилу:

1) каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида

ности, квадратное уравнение, дискриминант которого <0, имеет комплексные корни. Для их нахождения достаточно умножить отрицательный дискриминант на i2 , а далее искать корни по обычным формулам вычисления корней квадратного уравнения. Два комплексных числа вида z a b i и z a b i называются комплексно сопряженными [11, 30]);

195

4) каждой паре комплексных сопряженных корней k1 2 i

кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида

e x C1 C2x ... Cmxm 1 cos x A1 A2x ... Amxm 1 sin x .(3.20)

Запишем схему решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, являющегося частным случаем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n - го порядка (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка

Решение. Все представленные уравнения являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами, причем уравнения под буквами а, б, в − второго порядка, а значит их решение мы будем искать с помощью

данное характеристическое уравнение имеет 2 различных действи-

196