Материал: 2471

где f1 x − функция, зависящая только от x, а f2 y − функция, зависящая только от y, сводится к уравнению с разделенными перемен-

ными (3.4). Для этого достаточно представить y dy и разделить пе-

Заметим, что уравнения такого типа наиболее часто встречаются на практике. Сложности при решении таких уравнений могут возникнуть только на этапе нахождения интегралов. Вопросы интегрирования функции одной независимой переменной были нами затронуты в гл. 2 настоящего пособия.

В задачах 3.1 и 3.2 решены уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим еще несколько примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и приведем их решения.

Пример 3.2. Решить уравнение y 2y 1 tg x.

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные x и y и проинтегрируем полученные выражения

Задача 3.3. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

Решение. Пусть t − скорость движения тела в момент времени t, S S t − путь, пройденным телом за время t. По условию

188

задачи: k S , где k − коэффициент пропорциональности. Из фи-

уравнение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, следовательно,

Мы получили закон движения тела, соответствующий условию задачи.

Для того чтобы найти путь, который пройдет тело за 5 минут от начала движения, необходимо найти коэффициент пропорциональности k и константу С. Эти величины найдем, подставив в полученное решение начальные условия: S 1 8 8 ek C ; S 3 40 40 e3k C.

8 ek eC ,

Составим и решим систему:

40 e3k eC.

Из первого уравнения выразим eC 8 и подставим во второе ek

В процессе вычислений мы воспользовались свойствами натурального логарифма (см. прил. 2).

3.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

называется однородным, а при q x 0 − неоднородным.

189

а) Рассмотрим однородное линейное уравнение y p x y 0.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому для его решения достаточно «разделить» переменные и найти соответствующие интегралы:

dy p x y 0; dx

dy p(x)dx; y

ln y p(x)dx lnC;

ln y p(x)dx;

C

б) Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y p x y q x воспользуемся методом Бернулли [Иоганн Бернулли (1667 − 1748) − швейцарский математик].

Суть метода заключается в том, что искомая функция представ-

произвольна (но не равна нулю).

При этом по правилу дифференцирования произведения двух функций [формула (1.18)] y u v u v .

Подставляя значения для y и y в исходное уравнение, получаем u v u v p(x)u v q(x);

u v u v p(x) v q(x).

Так как первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Таким образом, можно одну из составляющих произведения функций выбрать так, что выражение v p(x) v 0.

Таким образом, появляется возможность получить функцию v, проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме а:

190

Заметим, что зачастую на практике при нахождении v константу C «опускают» (например, в данном случае возьмем ее равной 1), тогда полученное решение будет иметь вид v e p(x)dx.

Для нахождения второй неизвестной функции u подставим полу-

где C2 C1 C.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка в общем виде по методу Бернулли.

Пример 3.3. Решить уравнение x2 1 y 2xy 3.

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, после небольших алгебраических преобразований оно соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения y p x y q x .

191

Задача 3.4. (Задача о переменном синусоидальном токе). Пусть дана электрическая лампа, которая питается от источника переменного тока. Найти закон изменения тока в зависимости от времени, если напряжение U изменяется по синусоидальному закону.

Решение. Примем за начальный момент времени t0 , при котором U0 0. Тогда можно положить U U0 sin t , где − частота, например, переменного тока 50 Гц, или 50 колебаний в с.

Уравнение изменения силы тока в электрической цепи с сопро-

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решаемое методом Бернулли. Итак, решим это уравнение.

Воспользуемся подстановкой I u v, I u v u v . Следовательно, получим уравнение

192