Материал: 2471

В случае предварительного растяжения пружины по ее оси действует сила F k x b, где b − величина предварительного растяжения пружины; k − жесткость пружины, Н/м. На графике данному выражению функции F соответствует прямая y k x b, расположенная параллельно прямой y k x (в нашем примере, это прямая y 10x 5, см. рис. 2.3).

Жесткость пружины (k) − это величина, показывающая, какое усилие в Н нужно приложить к ней для ее растяжения (сжатия) (в нашем примере для растяжения на 1 м). Обычно жесткость имеет единицу величины в Н/мм. У пружин форсунок автомобильных дизелей жесткость лежит в пределах 200 − 300 Н/мм.

Пружины растяжения и сжатия с различной жесткостью применяются в технике. В двигателях внутреннего сгорания их используют в форсунках, насосах высокого давления, регуляторах, клапанах.

На рис. 2.4 показан общий вид форсунки двигателя семейства Ярославского моторного завода.

Рис. 2.4. Форсунка: 1 – сопловые отверстия; 2 – игла; 3 – корпус распылителя;

4 – гайка распылителя;

5 – корпус;

6 – шток;

7 – опорная шайба;

8 – пружина;

9 – регулировочный винт;

10 – контргайка;

11 – колпак;

12 – сетчатый фильтр;

13 – уплотнитель;

14 – штуцер;

15 − канал

Под действием высокого давления игла форсунки 2 перемещается и через шток 6 сжимает пружину 8. Через открытые сопловые отверстия 1 топливо в распыленном виде подается в камеру сгорания. После окончания впрыска пружина 8 разжимается и при помощи штока 6 действует на иглу 2, закрывая сопловые отверстия 1. Усилие пружины сжатия 8 регулируют винтом 9.

173

2.3.2.Геометрические приложения определенного интеграла

1.Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией на-

зывается фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y f x ( f (x) 0 на отрезке a;b ), снизу − осью Ох, слева и справа − соответственно параллельными прямыми х=a и x=b (рис. 2.5).

Используя метод интегральных сумм, докажем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y f x , двумя параллельными прямыми х=a, x=b и

осью Ох в случае, если f (x) 0 на Рис. 2.5. Криволинейная трапеция

отрезке a;b , вычисляется по формуле

a

1. Произвольным образом точками x0 a,x1,x2,x3,...,xn 1,xn b отрезок a;b разбиваем на n частей − n частичных отрезков xi 1;xi , i 1,2,...n. xi xi xi 1 − длина i-го частичного отрезка (рис.2.6).

2.Внутри каждого частичного отрезка xi 1;xi , i 1,2,...n, произвольным образом выбираем точку сi .

3.Находим значение определяемой функции f (x) в точке сi , то

есть значение f (сi) [из т. сi проводим прямую, параллельную оси Оу, до пересечения с графиком функции y f x ; ордината полученной

точки пересечения даст нам искомое значение функции f (сi)]. Значе-

ние f (сi) численно равно высоте hi i-го прямоугольника. Умножаем это значение на длину соответствующего частичного отрезка xi 1;xi

(i 1,2,...n) xi . В результате получаем n произведений вида Si f ci xi , выражающих площадь прямоугольников с основанием

xi и высотой hi f ci .

4. Составим сумму всех таких произведений (сумму площадей):

174

(см. рис. 2.6) и приближенно равна площади криволинейной трапеции S . То есть

5. При xi 0 точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Следовательно, за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится значение площади ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает

Рис. 2.6. Площадь криволинейной трапеции

b

Геометрический смысл определенного интеграла f (x)dx от не-

a

отрицательной функции y f (x) ( f (x) 0 на отрезке a;b ) заключается в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной данной кривой.

a

175

В общем случае

a

x x(t),

В случае параметрического задания кривой

y y(t),

y(t) 0, t1 t t2, площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой прямыми х=a, x=b и отрезком a;b оси Ох, может быть найдена по формуле

Рис. 2.9. Криволинейный сектор

176

2. Длина дуги кривой

где x(t), y(t) − непрерывно дифференцируемые на отрезке a;b функции, длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле

3. Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается боковая поверхность криволинейной трапеции, ограниченная непрерывной линией y f x ( f (x) 0 на отрезке a;b ), осью Ох, параллельными прямыми х=a и

177