Материал: 2471

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.2. Определенный интеграл

Пусть функция y f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], a<b. Произвольным образом разобьём отрезок [a;b] на n частей

точками a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b.	Каждый отрезок xi 1;xi ,
i 1,2,...n, назовем частичным отрезком, а	разность xi xi xi 1 −

длиной частичного отрезка. Внутри каждого частичного отрезка произвольным образом выберем точку сi, i 1, 2,...n, и найдем в ней зна-

чение функции yi f (сi ). Умножив каждое значение	yi	f (сi ) на
длину соответствующего частичного отрезка xi , получим		f (ci) xi .
Сумма вида
n			(2.5)
f (ci) xi f (c1) x1 f (c2) x2 ... f (cn) xn			(2.5)
i 1
называется интегральной суммой для функции y f (x)		на отрезке
a;b .
n
Определение. Если интегральная сумма f (ci) xi	имеет предел
i 1

I (при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков xi стремится к нулю), не зависящий ни от способа разбиения отрезкаa;b на частичные отрезки, ни от выбора точек сi в них, то число I

называется определенным интегралом от функции		y f (x) на от-
b
резке a;b и обозначается f (x)dx. Таким образом,
a
b	n
f (x)dx	lim f (ci ) xi ,	(2.6)

amax xi 0i 1 n

где числа a и b называются соответственно нижним и верхним пре-

делами интегрирования; f (x) − подынтегральной функцией; f (x)dx − подынтегральным выражением; x – переменной интегрирования, отрезок a;b − областью (отрезком) интегрирования.

Отметим, что запись dx (вместо x) в записи определенного интеграла означает, что для получения точного значения интеграла необходимо перейти к пределу, когда все промежутки x стремятся к

163

нулю (подобно тому, как производная df получается из отношения dx

f , если устремить x к нулю и перейти к пределу).

Определение. Функция y f (x),	для которой на отрезке a;b
b	f (x)dx, называется интегри-
существует определенный интеграл	f (x)dx, называется интегри-
a

руемой на этом отрезке.

Теорема 2.2. (Теорема существования определенного интеграла). Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a;b , то определен-

ный интеграл f (x)dx существует.

2.2.1. Свойства определенного интеграла

1) f (x)dx 0.

2)Af (x)dx A f (x)dx.

b b b

3) (f1(x) f2(x))dx f1(x)dx f2(x)dx.

a a a

4)f (x)dx f (x)dx.

5)Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство

b	c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
a	a	c
		b	b
6) Если f (x) (x) на отрезке [a, b] (a<b), то			f (x)dx (x)dx.
		a	a

7) Теорема 2.3. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке существует точка с такая, что

f (x)dx f (с) (b a).

Это далеко не полный список свойств определенного интеграла. Весь список свойств с подробным доказательством представлен в учебниках и учебных пособиях по высшей математике [29,30]. В настоящем пособии мы приводим те основные свойства, знание которых позволит нам применять их в задачах технического содержания.

164

2.2.2.Вычисление определенного интеграла

2.2.2а. Ф о р м у л а Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а

Теорема 2.4. (Теорема Ньютона–Лейбница). Если функция y f (x) непрерывна на отрезке a;b и F(x) – какая-либо ее первообразная, то имеет место формула

					b
					f (x)dx F(b) F(a).								(2.7)
					a
Это выражение называют формулой Ньютона – Лейбница.
Пример 2.7				2
			x		1				2			2
			x		1				2			2
2x sin2x dx		2						x		cos2x			cos2

			2		2	cos2x
0			2		2		0				0
02 cos0 2	1 1 2 .

При вычислении определенных интегралов часто приходится пользоваться формулой замены переменной и формулой интегрирования по частям. Для определенных интегралов эти формулы имеют следующий вид.

2.2.2 б. Ф о р м у л а

з а м е н ы

п е р е м е н н о й

в о п р е д е л ё н н о м и н т е г р а л е

f (x)dx от непрерывной функ-

Пусть для вычисления интеграла

ции сделана подстановка x (t). Если функция (t)

и ее производ-

ная

непрерывны на отрезке

; , причем a ( );b ( ), то

(t)

справедлива формула

(2.8)

f (x)dx f t t dt.

Пример 2.8

x t4

1 1

1) 1

dx 4t

dt 4

1 t

11 4 x

x 1 t 1

1 t

t 1

x 16 t 2

165

2 t3 1					2 1								2 (t 1) t2 t 1											2 1

					dt			dt		4												dt 4			dt
4		t 1			dt			dt		4							t 1					dt 4			dt
1		t 1			1 t 1								1				t 1						1 t 1
2	2											2			t3				t2		2


4 t			t 1dt 4 ln						t 1				4							t		4 ln3 ln2



1												1			3				2		1
1												1			3				2		1
	8			4		1	1							3				11				3	22		3
4					2			1			4 ln					4				4 ln				4ln		.
4					2			1			4 ln			2		4			6	4 ln				4ln	2	.
	3 2					3 2								2					6			2 3			2

Пример 2.9

		1 cos6x t
	sin6xdx	6sin6xdx dt			1 dt			1	1 dt		1			1
		6sin6xdx dt
4							6					ln	t
4							6
		x		t 1	1				1
	1 cos6x					t		6		t	6
			4											1
			4											1
9				1	2				2					2
9				1	2				2					2
		x		t
		x	9	t
			9	2

1		1
	ln1 ln
		2
6

1 ln 1 1 ln2. 6 2 6

					2.2.2 в. Ф о р м у л а																	и н т е г р и р о в а н и я п о																ч а с т я м
														в о п р е д е л е н н о м и н т е г р а л е
			Если							функции								u u(x),v v(x) имеют														непрерывные									частные
производные на отрезке a;b , то имеет место формула
																						b							b	b
																						b							b	b
																						udv u v							vdu.														(2.9)
			Пример 2.10																			a							a	a
			Пример 2.10
			0,2						5x				u x du dx																							1		5x	0,2



						xe					dx								5x						5x					1			5x	x			e
						xe					dx								5x						5x					1			5x	x			e
			0										dv e							dx v e							dx v					e				5				0
			0										dv e							dx v e							dx v					e				5				0
																												0,2		5
	0,2 1					5x								1			5 0,2					1	1			5x				1		1				5 0,2		1				0
	0,2 1					5x								1			5 0,2					1	1			5x				1		1				5 0,2		1				0
					e			dx 0,2								e					0			e							e				e						e
			5		e			dx 0,2						5		e					0			e						25	e				e						e
	0		5											5								5 5						0		25		25						25
		1		e			1			e		1			1			.
				e						e								.
	25					25					25			25

166

Таким образом, что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые используются при нахождении неопределенных интегралов. Точно также применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, используются те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, рациональных и иррациональных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Помните: заменяя переменную интегри-

рования, не забудьте изменить соответственно пределы интегрирования.

2.3. Приложения определенного интеграла

Прежде чем начать разговор о приложениях определенного интеграла, обозначим общую схему его применения к решению задач.

Итак, пусть требуется найти значение некоторой геометрической или физической величины А (это может быть площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину, путь, пройденный телом), связанной с отрезком изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А обладает свойством аддитивности (от лат. «additivus» — прибавляемый), то есть при разбиении отрезка a;b точкой с a;b на части a;c и c;b значение величины А, соответствующее всему отрезку a;b , равно сумме ее значений, соответствующих отрезкам a;c и c;b .

Для нахождения величины А опишем метод интегральных сумм. Именно на этом методе в дальнейшем основывается вывод ряда формул, используемых для нахождения многих геометрических и физических величин. Например, данный метод используется при решении задач, рассматриваемых в гл. 5 и гл. 10.

Метод интегральных сумм базируется на определении определенного интеграла, приведенного выше.

1. Произвольным образом точками x0 a,x1,x2,x3,...,xn 1,xn b отрезок a;b разбиваем на n частей – n частичных отрезков xi 1;xi , i 1,2,...n. Длину каждого частичного отрезка обозначим

xi xi xi 1.

167

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
04. Антигены