Материал: 2471

функции f (x) и обозначается f (x)dx, а операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием.

Таким образом, по определению

где f (x) − подынтегральная функция; f (x)dx − подынтегральное выражение; x − переменная интегрирования; − знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл иногда называют первообразной функцией, воспринимая этот термин как обратный к понятию «производная»: речь идет о той функции, от которой берется (уже известная нам) производная. Заметим, что слово «интеграл» образовано от лат. «integer» − «целый», а знак («интеграл») происходит от латинской

буквы S, первой буквы слова «сумма»: он получился растягиванием буквы S в вертикальном направлении. Каким образом интеграл связан с понятием «суммы», мы рассмотрим ниже.

Приведем (без доказательства) основные свойства неопределенного интеграла.

1.f (x)dx (F(x) C) f (x);

2.d f (x)dx f (x)dx;

3.dF(x) F(x) C;

4.C f (x)dx C f (x)dx;

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому в прил. 1 настоящего пособия приведем таблицу основных интегралов (табл. П.1.3), с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

158

Существуют три основных метода интегрирования:

1. Метод непосредственного интегрирования – метод, при кото-

ром данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 2.1

1

50x2 C 2 x6 x 20 x3 x 50x C. 13 7

При нахождении данного неопределенного интеграла мы воспользовались свойствами 4), 5) неопределенного интеграла и табл. П.1.3.

2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) –

метод, заключающийся во введении новой переменной интегрирования. При этом исходный интеграл сводится к табличному значению. Если требуется найти интеграл f (x)dx, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x (t) и dx (t)dt получается

Метод замены переменной может быть применим в следующих случаях:

159

а) под знаком интеграла содержится сложная функция f ( (x)),

б) под знаком интеграла содержится полный дифференциал одной из входящих функций. Тогда заменяем на переменную t ту функцию, полный дифференциал которой содержится под знаком интеграла. Например, при вычислении интегралов вида

3 dt 5ln x x2 2 3t 5ln x x2 2 C 3x2 2

5ln x x2 2 C.

3.Метод интегрирования по частям – метод, заключающийся в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, а затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям:

160

d(u v) udv vdu. По приведенному выше свойству 3) неопреде-

ленного интеграла: u v udv vdu или udv u v vdu.

В табл. 2.1 представлены основные типы интегралов, берущихся по частям. При этом в табл. 2.1 указано, в каком случае выражение под знаком интеграла принимается за u и за v.

Таблица 2.1

Основные типы интегралов, берущихся методом интегрирования по частям

161

Пример 2.5

11

4x4 ln x 16x4 C.

Ометодах интегрирования некоторых специальных типов функций: дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных − можно узнать из специальной литературы по высшей математике, на-

пример [7, 11, 12, 23, 29, 30].

Контрольные вопросы

1.В чем заключаются задачи дифференциального и интегрального исчисления и как они связаны между собой?

2.Какую функцию называют первообразной для данной функции y f (x)?

3. Какая функция называется интегрируемой?

4.Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

5.Назовите основные методы интегрирования.

6.В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

7.Что общего и различного между таблицами производных и интегралов?

8.В чем заключается суть метода подстановки? В каких случаях применяется этот метод интегрирования?

9.В чем заключается суть метода интегрирования по частям? Для нахождения интегралов каких типов удобен этот метод?

162