Документ: 2385, страницы 51-55 | Студенческое хранилище

1

f

ab

.

H

m

AB

Y

dL

dX

y

dl

dx

0

O

dY

X

o

dy

x

a

б

Рис. 3.5. Бесконечно малые отрезки на местности (a) и на снимке (б)

Следовательно, масштаб изображения следует определять как отношение бесконечно малых отрезков наклонного снимка и местности:

1	dl	,	(3.27)
m
	dL

где dl и dL – бесконечно малые отрезки снимка и местности, связанные с бесконечно малыми приращениями координат ограничивающих их точек следующими зависимостями (рис. 3.5):

dL	dX 2 dY2 .
		(3.28)
dy dx tg ,		(3.28)
dy dx tg ,
dl dx / cos
dl dx / cos

Для вывода формулы, определяющей масштаб наклонного снимка по произвольному направлению, используются формулы связи координат точек снимка и местности, при выводе которых координатные оси ox и OX совмещаются с главной вертикалью и ее проекцией.

После преобразований формула масштаба снимка в точке с координатами x, y по произвольному направлению примет вид

1

f

k2

,

(3.29)

m

H

cos2 φ (ksin φ ccosφ)2

где

x

y

k (cos

c

sin

c

),

c

sin

c

.

f

Выполним анализ формулы (3.29), получим формулы масштаба в основных точках снимка по главной вертикали и по горизонталям.

1. Снимок горизонтальный ( с= 0). Подстановка c дает k = 1, c = 0, и вместо (3.29) будем иметь

1	f	.	(3.30)

m H

Следовательно, масштаб горизонтального снимка плоской местности – величина постоянная, не зависящая от положения точки.

2. Масштаб по главной вертикали (y = 0, = 0). Подстановка в (3.29) дает k=cos c и c=0. Тогда формула масштаба по главной вертикали

1

f

k2

f

(cosα

c

x

sinα

c

)2 .

(3.31)

mVV

H

f

3. Масштаб по горизонталям (

= 90 ).

Подкоренное выражение в знамена-

теле формулы (3.29) равно k, и искомый масштаб

1

f

k

f

(cosα

c

x

sinα

c

).

(3.32)

mhh

H

f

Как видно, масштаб по любой горизонтали является величиной постоянной, что и подтверждает перспектива сетки квадратов.

Действуя аналогично, можно получить формулы для расчета масштаба по главной вертикали и горизонталям в основных точках.

Масштаб в точке нулевых искажений.

52

Подставив в (3.29) y=0, oc=x=–f(1–cos )/sin

согласно(3.40), k=1,

c=0,

получим

1

f .

(3.33)

mVV mhh H

Масштаб в точке надира (x= – ftg , k=1/cos , c=0):

1

f

c

,

1

f

.

(3.34)

mVV

H cos2

mhh

H cosαc

Масштаб в главной точке снимка (x=0, k=cos , c=0):

1

f

cos2 α

c

,

1

f

cosα

c

.

(3.35)

mVV

H

mhh

H

4. Изменение масштаба в пределах аэроснимка можно получить, определив

разность масштабов по главной вертикали в двух симметрично расположенных точках с абс-

циссами+x и–x:

1 1

f

x sin

[(cos

c

)2 (cos

c

)2 ].

m1 m2 H

f

После несложных преобразований, полагая, с достаточной для приближенных

оценок точностью, что средний масштаб аэроснимка определяется по формуле (3.33):

m 4x c .

(3.36)

m

f

Расчеты по этой формуле показывают, что при x=f и c=30 относительное измене-

ние масштаба составит около 1/30. С такой же точностью будут определены и длины

измеренных на снимке линий. Следовательно, выполнять измерения по контактным

аэроснимкам с использованием их среднего масштаба нужно весьма осторожно.

7. Линейные искажения, вызванные

влиянием угла наклона аэроснимка

Пусть наклонный (P) и горизонтальный (P0) снимки получены одной съемочной ка-

мерой, имеютобщийцентр проекцииS (рис. 3.6, а), а точка местности M изобразилась на них

в виде точек m и

m0. Такие снимки пересекаются по линии неискаженных масштабов hchc.

Поскольку изображение горизонтального снимка P0 соответствует ортогональной

проекции, его можно рассматривать как предметную плоскость, а линию неискаженных

масштабов – как основание картины.

С учетом этого получим эпюр сложения (рис. 3.6, б), выполнив вращение картинной

hi

плоскости

и

S

i

плоскости

P

c

mo

P0,

действительного

i

2

P,

горизонта

со-

hc

E

o

гласно

условиям

m

r

o

oo

P

xo

m

теоремы

Шаля.

o

r

o

c

n

На

эпюре

m

r

hc

сложения

центр

M

k

S,

проекции

S

hc

совместится

с

a

б

точкой

нулевых

Рис. 3.6. Линейные искажения, вызванные влиянием угла наклона аэроснимка на

искажений c, ко-

пространственном чертеже (a) и на эпюре сложения (б)

торая

в данном

случае

будет

53

одновременно и главной точкой основания картинной плоскости, а точки m и m0 окажутся

лежащими на одном проектирующем луче Smm0.
Обозначим удаления точек m и m0 от точки нулевых искажений через r					и r0
соответственно. Тогда искажение ,=r				–r0 («практическое значение	минус
теоретическое»), а mm0= .
Из подобных треугольников mm0k и icm можно записать:
mm0 /m0k mc/ic ,				или mm0 m0k mc/ic .
Поскольку mc=rc, ic=f/sin c (§14) и				m0k =r0cos , то
δα	r r	0	sinαc cosφ.		(3.37)
	с с
	f

Эта формула определяет величину искажения, вызванного влиянием угла наклона снимка, или перспективного искажения. В таком виде эта формула применяется в конструкциях ряда фотограмметрических приборов.

Если в правой части формулы (3.37) заменить r0 на r – , то после несложных преобразований получим окончательно

δα			rc2 sin αc cosφ		.	(3.38)
		f
			rc sin αc cosφ
Опустив в знаменателе второе слагаемое, что оправдано при использовании
плановых снимков, получим
			r 2
δ	α		c	sinαc cosφ.		(3.39)

			f
При c=10, f=rc= 100 мм, и = 0 найдем, что =1,75 мм.
Индекс «c» в обозначении радиуса-вектора r напоминает, что он отсчитывается от

точки нулевых искажений, а угол – от положительного направления главной вертикали против хода часовой стрелки.

Легко видеть, что максимальное искажение				имеют точки, расположенные на
главной вертикали (cos = 1), причем при c :
	rc2	c
δαmax			.	(3.40)
	f

По формуле (3.40) можно вычислить радиус полезной площади аэроснимка r, в пределах которого максимальное искажение не превысит заданного значения .. Заменив в (3.40) rc на r и на , получим

r	f αρ	.	(3.41)

αc

При =0,3 мм, c=30 и f=100 мм r= 58,5 мм, а при f=200 мм r= 82,3 мм.

Анализ полученных формул позволяет сделать несколько выводов.

1.Величина искажения тем больше, чем больше угол наклона c и чем меньше фокусное расстояние съемочной камеры f. При постоянных значениях c и f величина искажения зависит от положения точки на снимке, т.е. от величин угла и радиусавектора rc.

2.Полезная площадь планового аэроснимка близка к его рабочей площади.

3.На линии неискаженных масштабов hchc величины искажений равны нулю (cos =0), и масштаб ее изображения соответствует масштабу горизонтального снимка.

4.Длина отрезка, симметричного относительно точки нулевых искажений, не

искажается: углы для концов отрезка различаются на 1800, а их искажения равны по величине и противоположны по знаку.

54

Смещения точек, вызванные влиянием угла наклона снимка, полностью

устраняются в процессе его трансформирования.

8. Линейные искажения, вызванные

влиянием рельефа местности

Ранее было показано, что аэроснимок является изображением местности в

центральной проекции, а топографический план – в ортогональной, и что эти проекции

совпадают только в случаях, когда снимок горизонтальный, а местность равнинная.

На рис. 3.7 изображен горизонтальный снимок P0 всхолмленной

местности, полу-

ченный с высотыH над плоскостью E. Точки местностиA иB,имеющиепревышениянадплос-

костью E соответственно +h и –h, изобразились в

S

виде точек a и b, расположенных на расстояниях

oa=ra иob=rb отглавнойточки.

0 a

a

o

b

0

Точка A

и

B

являются ортогональными

P

b

A

проекциями точек местности A и B на предметную

плоскость E; их проекции, если бы они могли

+hA

быть получены, располагались бы в точках a0 и

E

O

B0

b0. Следовательно,

отрезки

aa0 и bb0 являются

A

A0

hB

смещениями (искажениями)

h точек a и b, вы-

B

званными влиянием рельефа местности. По-

Рис. 3.7. Линейные смещения, вызванные

скольку точка надира является точкой схода

влиянием рельефа местности

перспектив всех отвесных линий, эти смещения всегда совпадают с направлениями, про-

ходящими через точку надира.

Для определения величины искажения h рассмотрим две пары подобных треуголь-

ников Soa, AA0A и Saa0, SA A0, из которых следует:

aa0 A A0 So/SO AA0 oa/SO.

Поскольку AA0=h, oa=r, SO=H и				aa0= h, получим
δ	h	rh	.	(3.42)

		H

При h=50 м, r=100 мм и H=2000 м смещение h=2,5 мм, что больше смещения, обусловленного влиянием угла наклона.

Формула (3.42) получена без учета угла наклона снимка и уже поэтому не является строгой. Однако она широко применяется в фотограмметрической практике, поскольку допускаемая ошибка вычислений величины искажения h при плановой аэрофотосъемке не превышает 0,1–0,2 мм.

Заметим, что искажения точек, вызванные влиянием рельефа местности, объясняются тем, что масштаб их изображения крупнее масштаба изображения средней плоскости снимка при положительном превышении над ней (точка ближе к центру фотографирования), и мельче при отрицательном превышении (точка дальше от центра).

Используя формулу (3.54), можно установить предельное превышение, при котором величина искажения h не превысит заданного предела, что учитывается в Инструкциях по фотограмметрическим работам.

Анализ формулы позволяет сделать несколько выводов.

1.Величина смещения h=0 при r=0 , т.е. когда точка совпадает с точкой надира.

2.При положительных превышениях точек местности над предметной плоскостью

смещения h направлены к точке надира, а при отрицательных превышениях – от точки надира.

3. Для уменьшения влияния рельефа местности следует увеличивать либо высоту фотографирования H, либо фокусное расстояние f.

55

9. Искажение изображения площади

Линейные искажения точек снимка, вызванные влиянием угла наклона и рельефа местности, приводят к искажениям линий, следовательно, и площадей участков, ограниченных этими линиями. Причем раздельные и независимые влияния угла наклона снимка и превышений между точками местности на искажения площадей суммируются. Рассмотрим эти источники.

Влияние угла наклона на искажения площадей участков установим,

исходя из

следующих соображений. Пусть имеем на плоской местности квадрат

h

a

со стороной L, расположенный симметрично относительно главной

вертикали (рис. 3.8). На наклонном снимке этот квадрат изобразится в

o

c

k d

виде трапеции со средней линией ab=l1

и высотой cd=l2. Площади

участка на наклонном (P) и на горизонтальном (P0) снимках равны:

h

b

P=l1l2=(L/mh) (L/mv)

и

P =l2=L2f2/H2.

Искажение площади есть разность площадей

0

, которая с

Рис. 3.8. Искажение

P и P

изображения площади

учетом масштаба по вертикали (3.31) и горизонтали (3.32) равна:

0

L2f 2

x

3

P

P P

[(cosα

c

sin α

c

)

1].

H 2

f

Более показательно относительное искажение площади:

P

(cosα

c

x

sin α

c

)3

1.

(3.43)

P0

f

Если центр участка k совпадает с главной точкой снимка (x=0), то

P

cos3

α

c

1.

(3.44)

P0

Расчеты показывают, что площадь участка, изображенного на снимке симметрично относительно главной его точки, определяется с достаточно высокой точностью: при углах наклона c, равных 30 и 60 минут, относительное искажение составляет 1/ 8700 и 1/2900 соответственно.

Влияние рельефа местности на искажения площадей участков, изображенных на плановом снимке, определим исходя из ошибок определения масштаба снимка, или, точнее, высоты фотографирования над средней плоскостью, расчет которой обычно выполняется по опознанным на карте (на местности) точкам и последующего измерения расстояния между ними.

Площадь земельного участка на местности (P0) вычисляют по результатам ее измерения на снимке (P):

P0 Pm2 P H 2 /f 2 .

Неточное определение высоты фотографирования H (или неучет превышений h между точками ее определения) приведет к ошибке определения масштаба и площади участка. Для установления ошибки функции P0 в зависимости от ошибки аргумента H в соответствии с правилами теории ошибок измерений выполним дифференцировани:

0

P

2HdH

P

2H 2

dH

2P

0

dH

dP

.

f 2

H

Примем dP0= P и dH=h. Тогда относительная ошибка площади

P

2

h

.

(3.45)

P

H

Из полученной формулы следует, что влияние рельефа достаточно ощутимо: при высоте фотографирования H=2000 м и превышении h=50 м относительная ошибка определения площади составит 5 % или 1/20 от ее величины.

56

Материал: 2385

Смотрите также: