Материал: 2261
Основное значение имеет вторая часть общего решения (чисто вынужденные колебания).
x |
H |
(61) |
sin( t ). |
m
( 02 2 )2 4h2 2
Это уравнение описывает незатухающие установившиеся колебания, происходящие с частотой возбуждающей силы.
При близких значениях частот 0 и ( 0 ) результирующее движение носит характер биений, которые постепенно затухают.
Амплитуда установившихсяколебаний определяется выражением:
|
|
|
H |
|
|
|
|
|||
А |
|
|
|
|
. |
|
|
(62) |
||
|
|
|
|
|
||||||
m ( 2 |
|
|
||||||||
|
2 )2 4h2 2 |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив в уравнение (62) выражения m |
c |
и |
H |
x |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
c cт, |
||
получим: |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А хст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 |
2 |
|
) |
2 |
|
4h2 |
2 . |
(63) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 |
2 |
|
) |
2 |
|
4h2 2 . |
(64) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А хст , |
|
|
|
|
|
|
|
(65) |
|||||||||
где А – амплитуда вынужденных колебаний, |
xcт статическая де- |
|||||||||||||||||||||
формация под действием постоянной силы Н, |
коэффициент ди- |
|||||||||||||||||||||
намичности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из уравнения (65) можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 35 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
(66) |
xcт . |
Коэффициент динамичности показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний А превышает статическую деформацию xcт под действием постоянно приложенной силы Н.
Зависимость коэффициента динамичности от отношения час-
тот изобразим на рис. 14 в виде графика (резонансная кривая с
0
учётом сил трения) для различных значений 2h, характеризующих
0
демпфирующее действие линейного трения.
Максимум кривых f( ) на рис. 14 лишь незначительно
0
смещены влево от значения 1, поэтому резонансные значения
0
динамического коэффициента определяют из выражения (64), принимая 0 .
m=A/ Xcт |
|
|
1/ mрез=2h/ w=0.20 |
||
5.0 |
|
|
|||
|
|
|
|
Е |
|
4.0 |
|
|
1/ mрез=2h/ w=0.30 |
||
|
|
|
|
Е |
|
3.0 |
|
|
1/ mрез=2h/ w=0.40 |
||
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
1/ mрез=2h/ w=0.50 |
||
2.0 |
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
w/ |
2.5 |
|||||
Рис. 14. Резонансные кривые |
|||||
|
с учётом сил трения |
|
|||
В результате получаем:
- 36 -
рез |
|
0 |
. |
(67) |
|
||||
|
|
2h |
|
|
Выражение (67) можно представить в виде:
h |
0 |
, |
(68) |
|
|||
|
2 рез |
|
|
Ранее мы записывали выражение для логарифмического декремента затухания (41):
h T.
Подставляя T |
2 |
и |
|
h |
|
1 |
|
, получим |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
2 рез |
|
||||||||
|
|
|
|
|
, рез |
|
|
. |
(69) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
рез |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Резонансное значение динамического коэффициента называют добротностью системы. Чем выше добротность, тем острее резонансный пик.
Фазовая частотная характеристика системы с трением имеет вид, представленный на рис. 15.
|
w w |
0 |
Е |
|
-(p/ 2) 
-p
Рис. 15. Фазовая частотная характеристика диссипативной системы
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) системы с трением показывает, что с увеличением частоты вынуждающих колебаний угол сдвига фаз между колебаниями системы и колебаниями вынуждающей силы также увеличивается. При 0 угол сдвига фаз
- 37 -
достигает минус (90 ), при дальнейшем увеличении частоты вы-
2
нуждающей силы угол сдвига фаз стремится к значению минус
(180 ).
1.10.2. Вынужденные колебания диссипативной системы
сцентробежным возбуждением колебаний
Ввибрационных машинах часто применяется центробежное возбуждение колебаний, когда в роли вынуждающей силы выступает центробежная сила или её проекция на определённое направление. При равномерном вращении неуравновешенных элементов – дебалансов – амплитуда вынуждающей силы пропорциональна квадрату угловой частоты вращения.
H m R 2 |
, |
(70) |
0 |
|
|
где m0 масса дебаланса, R – расстояние от центра тяжести дебаланса до оси вращения.
Подставив выражение (70) в уравнение (62), получим:
|
|
|
т R 2 |
|
|
|
|
|
||
А |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
(71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(m m ) ( |
2 |
2 |
)2 |
4h2 2 |
|
|||||
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь m1 масса системы, совершающейвынужденныеколебания.
Рис. 16. Колебательная система
- 38 -
с центробежным возбуждением колебаний
На рис. 16 изображена расчётная схема колебательной системы с центробежным возбуждением колебаний.
Исследовав выражение (71) на экстремум, найдём максимальное значение амплитуды:
А |
|
т R 2 |
|
|
|
, |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
(72) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
2h(m m ) |
|
2 |
h2 |
||||||
|
|
|
|||||||
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
Резонансная частота
|
|
|
2 |
|
|
|
||
рез |
|
|
|
0 |
|
. |
(73) |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
2 |
2h2 |
||||||
|
|
|
|
|||||
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы с центробежным возбуждением представлена на рис. 17.
Рис. 17. АЧХ системы с центробежным возбуждением колебаний
- 39 -