Материал: 2192

механизма

(рис. 1),

если

r l 0,6

м;

MB l

3 ;

φ 4 t , а также

С

определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки М в

момент, когда 0 .

и

б

Решен е.

А

Определим координаты точки М в функции угла поворота кривошипа

:

2

5

5

l

x l

3

l cos

3

l cos

3

0,6cos

cos ;

y

sin 0,2sin .

3

Д

Используя эти уравнения и учитывая, что

cos2

sin 2 1, получим

уравнение траектории

x2

y2

1.

И

12

0,22

Траекторией точки M является эллипс с центром в начале координат и

полуосями 1 м (горизонтальная) и 0,2 м (вертикальная).

Скорость точки M определим через её проекции на оси:

d

cos 4 t

4 sin 4 t ;

Vy

d

0,2sin 4 t 0,8 cos 4 t .

Vx x

dt

y

dt

При 0 время t 0; Vx 0 ; Vy 0,8

м/c.

Скорость точки М

V

Vx2 Vy2

0,8 м/c.

Найдём проекции ускорения на оси:

ax x 16

2

cos 4 t ;

ay y 3,2

2

sin 4 t .

Касательное ускорение

a

Vxax Vy ay

0 .

V

Нормальное ускорение

an

a2

a2

16 2

м/c 2 .

V 2

0,64 2

Рад ус кр в зны траектории

0,04 м.

16 2

жения

an

С4.3. Пр мер выполнения расчетно-графической (контрольной)

работы «Определен е скорости и ускорения точки по заданным

уравнениям ее движения»

б

Дано. Уравнен я дв

точки М:

t

2

2

2 ;

y 2sin

t

3

,

x 2cos

А

3

3

t

2

x 2

t

2

y

3

cos

;

sin

;

3

2

3

2

x 2

2

y

3

2

2

2

2

1;

x 2

(y

3)

2

.

2

2

Получено уравнение окружности

с центром в точке с координатами

x 2 см; y 3 см и радиусом R = 2

см.

И

момент времени t 1 с:

2

1 см;

3

1,262 см.

x 2cos

y 2sin

3

3

С

и

б

А

Найдём проекции скорости на оси координат:

t

2

2 t

4

2

t

Vx x 2sin

Д

3

3

3

3

t

2

2 t

4

t

2

Vy y 2cos

3

3

3

t cos

3

.

В момент времени t 1 с Vx 3,628

cм/c; Vy 2,094 cм/c.

Определим модуль скорости:

И

V

Vx2 Vy2 .

В момент времени t 1с

V 4,189 cм/c.

a

V

4

2

t2

t2

;

x

t2 cos

sin

x

3

3

3

3

a

V

4

2

t2

t2

y

t2 sin

cos

.

y

3

3

3

3

С

В момент времени t 1 с

ax 8,014 см/c 2 ; ay

5,503 см/c 2 .

Определ м модуль ускорения:

вогнутости

a

ax2 a2y .

В момент времени t 1с

a 9,721 см/c 2 .

a x ,

Покажем на р с. 2 в масшта е составляющие ускорения

ay и

б

вектор ускорен я

an , который

должен

быть

направлен

в сторону

траектор .

Выч сл м касательное ускорение по формуле :

Vx ax Vy ay

3,628

8,014

2,094

5,503

a

V

А

4,189 см/c 2 .

4,189

Положительный знак показывает, что движение точки М ускоренное,

то есть направления векторов скорости и касательного ускорения

совпадают.

Д

Определим нормальное ускорение:

an

a2 a2

9,7212 4,1892

8,772 см/c 2 .

Покажем на рисунке векторы a и an .

И

V 2

4,1892

Определим радиус кривизны траектории: an

8,772 2 см.

Для окружности радиус

кривизны траектории совпадает с радиусом

окружности: R 2 см.

Результаты расчётов сведём в таблицу 4.1.

Таблица 4.1

Таблица результатов расчета

x,

y,

Vx,

Vy,

V,

ax,

ay,

a,

a ,

an ,

,

см

см

см/c

см/c

см/c

см/c2

см/c2

см/c2

см/c2

см/c2

см

–1

1,262

–3,628

–2,094

4,189

–8,014

5,503

9,721

4,189

8,772

2

Таблица 4.2

Номер

Уравнения движения

t1, c

варианта

X = X(t), см

Y = Y(t), см

и2

2

1

– 2·t2 + 3

– 5·t

0,5

С

2 4·cos2·( ·t/3) + 2

4·sin2·( ·t/3)

1

3

– cos( ·t2/3) + 3

sin( ·t2/3) – 1

1

4

4·t + 4

– 4·(t + 1)

2

б

5

2·sin( ·t/3)

– 3·cos( ·t/3) + 4

1

6

3·t2 + 2

– 4·t

0,5

7

3·t – t + 1

5·t – 5·t/3 – 2

1

8

7·sin( ·t2/6) + 3

2 – 7·cos( ·t2/6)

1

А

9

– 3/(t + 2)

3·t + 6

2

10

– 4·cos( ·t/3)

– 2·sin( ·t/3) – 3

1

11

– 4·t2 + 1

– 3·t

0,5

12

5·sin2·( ·t/6)

– 5·cos2·( ·t/6) – 3

1

13

5·cos( ·t2/3)

– 5·sin( ·t2/3)

1

Д

14

– 2·t – 2

– 2/(t + 1)

2

15

4·cos( ·t/3)

– 3·sin( ·t/3)

1

16

3·t

4·t2 + 1

0,5

17

7·sin2·( ·t/6) – 5

– 7·cos2·( ·t/6)

1

18

1 + 3·cos( ·t2/3)

3·sin( ·t2/3) + 3

1

И

19

– 5t2 – 4

3t

1

20

2 – 3·t – 6·t2

3 – 3·t/2 – 3·t2

0

21

6·sin( ·t2/6) – 2

6·cos( ·t2/6) + 3

1

22

7·t2 – 3

5·t

0,25

23

3 – 3·t2 + t

4 – 5·t2 + 5·t/3

1

24

– 4·cos( ·t/3) – 1

– 4·sin( ·t/3)

1

25

– 6·t

– 2·t2 – 4

1

26

8·cos2·( ·t/6) + 2

– 8·sin2·( ·t/6) – 7

1

27

– 3 – 9·sin( ·t2/6)

– 9·cos( ·t2/6) + 5

1

28

– 4·t2 + 1

– 3·t

1

29

5·t2 + 5·t/3 – 3

3·t2 + t + 3

1

30

2·cos( ·t2/3) – 2

– 2·sin( ·t2/3) + 3

1