Материал: 2187

x2 a2

x a x a .

В знаменателе

используем теорему Безу для

разложения

многочлена

на

множители

a x2 bx c a x x x x

2

, где x

– корни многочлена.

1

1,2

Найдём корни уравнения x2 x 2 0:

x

2;1. Знаменатель

1,2

запишется в в де

a x x1 x x2 x 1 x 2 x 1 x 2 . Те-

перь сокращаем од наковые множители и вычисляем предел:

2

0

x 1 x 1

x 1

2

Сx 1

=lim

lim

lim

.

x 1 x

2 x 2

0

x 1 x 1 x 2

x 1 x 2 3

2. lim

x3 27

0

lim

x 3 x2 3x 9

x

2

x 6

x 3 x 2

0

иx 3 x 3

x2

3x 9

9 9 9 27

lim

.

x 2

5

x 3

5

В числителе использовали формулу разности кубов, в знамена-

2

1 5

теле – теоремубБезу: x xА6 0; D 1 4 1 6 25; x1,2

;

x1 3;

x2 2.

2

x 1

0

x 1

3.

lim

lim

И4 2

0

1

x 1 2x2 x 1

x 1

Д2 x 1 x

2

(для разложения

знаменателя

проведем

вычисления

корней:

2x2 x 1 0; D 1 4 1 2 9; x

1 3

; x 1; x

2

1

)

1,2

1

lim

1

1

1

.

1

3

x 1

3

2

x

2

2

2

заменять друг на друга при вычислении пределов.

Пр меры

и

3x

3

sin3x

0

1. lim

0

sin3x ~ 3x; sin5x ~ 5x

lim

5x

5

.

Сsin5x

x 0

x 0

arcsin2x

0

2x

1

бА

2. lim

0

lim

.

x 0 sin6x

x 0 6x

3

3. lim

tg8x

0

lim

8x

8

2

.

12

3

x 0 arctg12x

0

x 012x

IV. Второй замечательный предел имеет два варианта записи:

1

1

x

lim 1 x

Д

x e; lim 1

e.

x 0

x

x

С помощью второго замечательного предела вычисляются неоп-

ределённости вида

1 .

Примеры

x 1 x

x 1

x

1. lim

1

lim

1

1

x 1

x x 1

x

Иx 1 2

x

2

x

2

x

x 1 x 1

2 x 1

lim 1

lim 1

lim

1

x

1

x

1

x 1

x

x

x

2x

2

1

1

e2.

lim ex 1

lim e

x

x

x

2x 4 x 1

2x 4

x 1

2.lim

lim 1

1

2x 6

x 2x

6

x

2x 4 2x 6 x 1

2 x 1

lim 1

lim 1

С

2x 6

x

2x 6

x

1

1

x 3

1

x 1

x 1

x

1

1

x 3

1

3

1

1

и

lim e x 3

lim e

x

e

.

lim 1

x 3

x

x

x

e

6x 2 x 1

6x 2

x 1

3. lim

lim 1

1

6x 3

x

6x 3

x

6x 2 6x 3 x 1

5 x 1

lim 1

lim 1

6x 3

x

x

6x 3

5

6x 3

5

x 1

5x 5

5

5

6x 3

lim e6x 3

e6 .

lim 1

6x 3

x

x

бА

V. Пределы различных видов.

Примеры

2

1 x x

2

1. lim

1 x xД0

x 0

x2 x

0

(преобразуем функцию, домножив числитель и знаменатель дроби на

сопряженное

выражение

1 x x

2

1

2

Иx x . В результате в

числителе получим выражение вида a b a b

и используем фор-

lim

1 x x2

1 x x2

1 x x2

1 x x2

x 0

x2 x 1 x x2 1 x x2

1 x x2 1 x x2

С

lim