Материал: 2187

С

lim

ln 1 x

1 частный случай.

x 0

x

4. lim

ax 1

lna;

x 0

x

lim

ex

1

1 частный случай.

x 0 x

n

и1 x 1

5.

lim

n.

x 0

x

Функция x называется есконечно малой (б.м.) в точке a, ес-

ли lim x 0.

x a

и x две б. м. функции в точке a и предел

Рассмотрим x

их отношения lim

x

0

.

Д

бx 0 А

x a

Если lim

x

c 0, то x

и x называются б. м. одного и

x a x

И

того же порядка малости в точке а.

Если с 1, то x

и x называются эквивалентными в точке

а:

x ~

x .

x a

Эквивалентные функции:

СибАДИ

1. sin ~

;

2. tg

~

;

0

0

3.arcsin

~

;

4. arctg ~

;

0

0

5. ln 1 ~ ;

6. e 1 ~ ;

0

0

7. 1 n 1 ~ n ;

8. a 1~ lna;

0

0

9. a

xn

a

n 1

xn 1 ... a x a

0

~

n

xn.

n

1

x

Теорема (

спользование эквивалентности . м. функций при

вычислен

пределов). Если x ~ 1 x ; x ~ 1 x при x a, то

lim

x

lim

1 x

.

x a x

x a x

1

Доказательство.

Выполним преобразования:

lim

x

lim x 1 x 1 x

x a x

x a x

x x

1

1

lim

x

1 x

1 x

1 1 lim

1 x

lim

1 x

.

x

x

x

x a

1

x a x

x a x

1

1

1

Итак, доказано, что предел отношения двух

б.м. функций не из-

С

lim

sin4x

= lim

4x

=

4

.

x 0 tg3x

x 0 3x

3

1

.

2.

lim

1 sin3x

Найти

x 0

tg x

Решен е.

2

бА

1 sin3x 1 0

1

sin3x

1

3x

lim

lim

2

lim

2

lim3 3.

x 0

x

0

x 0

x

x 0

x

x 0

tg

2

2

2

При вычислении предела использованы эквивалентности 7, 2, 1.

x

то x

Д

Если lim

0,

называется

б. м. более высокого по-

x a x

рядка малости, чем x в точке a.

Если

lim

x

,

то x

называется б. м. более низкого по-

x x

x в точке a.

И

рядка малости, чем

Если

lim

x

не существует,

то x и x

называются не-

1.

lim

2x 1

2 3 1

5

;

3 6

x 3 x 6

9

2.

lim

3 x

3 1

2

2

;

1 2

3

3

x 1 x 2

4x

4 0

0

x

0

3.

lim

0.

7 x

7 0

x 0

7

В эт х пр мерах

мы получили числа в результате вычислений,

С

е предела.

которые дают значен

Необход мо

связь

б.б.

и б.м. функций (теорема 5 из

§ 6):

помнить1

0;

1

.

0

Например:

1.

lim

3 x

3 0

3

;

x

0

0

x 0

бА

2.

lim

2

2

2

0.

x x2 x 3

2 3

0

0

Ситуации, в которых получаемД; ; 1 ; 0 и другие,

0

считаются неопределённостями и вычисляются различными способа-

ми. Рассмотрим некоторые приемы вычисления пределов функций

для различных видов неопределенностей.

И

3

6x

8

3x2 6x 8

(делим на x2 )

1.

lim

lim

x2

x2

x

2x

2

4x 1

x

2x

2

4x

1

С

x2

x2

8

6

8

x2

3

6

3

3 0 0

3

x

x

2

lim

.

4

1

x

2

2

4

1

2 0 0

2

2

и

x

x

2x 6

2x

6

2

6

2. lim

lim

x

x

lim

x

x

.

бА

x

3 8

x x2

3x 8

x x2

3x

8

0

0

x2

x2

x2

1

x

x2

0.

1 0 0

1

2x3 4x 1

2

4

1

2 0 0

2

3.

lim

lim

x2

x

3

2 3

1

3

0 0

x x

x

0

3

Д

x

x

И

Если x a и при вычислении предела отношения многочленов

получаем ситуацию

0

, то нужно числитель и знаменатель дроби

0

разложить на множители и сократить одинаковые выражения.

Примеры

1. lim

x2 1

0