Материал: 2187

Если для любой последовательности xn

, такой, что lim xn a,

выполняется

n

то lim f x (предел функции равен

1) f xn

п. б. б.,

) (рис. 8);

x a

С

y

и

x

бА

a

Рис. 8

2) f xn

о. .

.,

то lim f x (предел функции равен

) (рис. 9);

x a

y

Д

n

И

x

a

Рис. 9

3) f x

б. б.,

то

lim f x (предел функции равен )

x a

x

С

a

Рис. 10

§ 6. Основные свойства пределов функции

Теорема 1. Если lim f x A и lim f x B, то A B.

x a

x a

словами, если предел функции при стремлении к a су-

Иными

ществует, то он ед нственный.

нии к а:

lim f x A и lim f x B, причем

A B. Выберем значе-

б

x a

x a

и В не пересекались:

ние

так, что ы -окрестности

точек

А В

. Тогда,

по определению предела

lim f x A, у точки а

x a

найдется окрестность

x a

1, такая, что для всех x из этой окрест-

А

f x A

ности значения функции удовлетворяют неравенству

, то

есть лежат в -окрестности точки

. налогично,

по определению

предела lim f x В, у точки а найдется окрестность

x a

2 , та-

x a

Д

кая, что для всех x из этой окрестности значения функции удовлетво-

ряют неравенству

f x В , то есть лежат в -окрестности точки

x a

x a

Теорема 3 (о сжатой переменной). Если в некоторой окрестно-

С

неравенство f x x g x и

сти точки

а

выполняется

lim f x lim g x A, то lim x A (рис. 11).

x a

x a

x a

Эта теорема называется также теоремой о двух милиционерах.

и

y

y = g(x)

бА

y = φ(x)

y = f(x)

0

x0

x

Рис. 11

Теорема 4. Пусть lim f x A;

lim g x B, тогда

x a

x a

1.

lim f x g x A B;

Д

x a

2.

lim f x g x AB;

x a

3. если B 0,

lim

f x

A

;

И

B

x a g x

4.

lim С f x C A, где С число;

x a

5.

lim f x g(x)

AB.

x a

Замечание. В результате применения теоремы 4 могут возник-

нуть выражения вида 0 ,

,

0

, 1 и подобные, которые являются

0

функций).

С

1

1. Если lim

f x 0, то lim

x

.

x a

x a f

2. Если lim f x , то lim

1

0.

x a

x a

f x

чески

хемат

утверждение теоремы 5 можно записать так:

1

1

;

0

.

бА1

0

Пр меры

x2

2x 5

1 2 5

4 1

1. lim

x2 7

lim

1 7

lim

.

x 1

x 1

x 1 8 2

2.

lim

5

0, так как

lim tg x tg

.

tg x

x

x

2

2

2

3. Покажем, что (х) =

1

б.м. при x .

x

2

Действительно,

неравенство

ε выполняется для всех х,

x2

которые удовлетворяют условию x

1

, то есть при

N

1

.

И

Введем теперь определенияДпредела функции при x и пре-

дела функции, равного бесконечности.

Предел функции на бесконечности

1. Если для любой xn п.б.б.,

lim f xn A, то

lim

f x A

(предел f x на равен A);

n

x

2.

если для любой о. б. б. xn lim f xn A,

то

lim

f x A

(предел

f x на равен A).

n

x

ность f x также п. б. б., то

lim f x .

x

С

lim f x .

Упражнение. Написать варианты определений

x

§ 7. Замечательные пределы

Теорема (первый замечательный предел).

праведл во равенство

sin x

lim

1.

x 0

x

бА

Доказательство. Пусть дан некоторый угол. Построим окруж-

ностьис рад усом R с центром в вершине угла.

Д

Рис. 12

Радианной мерой угла x называется отношение длины l,

выре-

заемой углом дуги окружности, к ее радиусу

x

l

(рис. 12).

з со-

R

ображений подобия получаем, что x не зависит от R.

Рассмотрим рис. 13. Дан острый угол x. Выполним построения:

проведем окружность с радиусом 1 с центром в вер шине угла и вве-

дем обозначения, как указано на рисунке.

И

Теперь имеем

x

BC

BC

; tg x

CD

CD

; sin x

AB

AB

.

OC

OB

R