Материал: 2187

определения

которой является множество натуральных чисел 1, 2,

3, … . Элементы (члены) последовательности записываются в виде

С

f 1 , f 2 , f 3 , ;

ли an a1, a2, a3, ;

xn x1, x2, x3, .

Пр меры

1 , то есть a 1;

1

1

1. a

a

;

a

; .

n

2

n

1

2

3

3

ли

2.

an

1 n ,

то

есть

a1 1; a2

1; a3 1, ; a51 1;

a200 1,... .

3. an 1 , то есть a1

1;a2

a3 1, .

Последовательность an называется ограниченной, если суще-

ствует число М, такое, что

an

M при всех n

(рис. 4).

бА

(

an

)

х

М

0

М

Рис. 4

Пример

Д

an

n2 неограниченная последовательность.

Число a

называется пределом последовательностиИx , если

n

для любого числа 0

существует номер N , такой, что для всех

n N выполняется неравенство

xn a

(рис. 5).

Обозначение: a lim xn.

n

(

а

х

(

)

)

2

1

Рис. 5

Последовательность n

называется бесконечно малой (б. м.),

если lim n 0.

n

Пр мер

С

1

1

1

1

, k

0 ;

;

;

; б.м. последовательности.

nk

n

n2

n

Свойства . м. последовательностей:

и

1.

lim xn

a xn a .м.

x б

б.м.

2. Если an и n

.м., то an bn

А

Последовательность an называется положительно бесконеч-

но большой (п. б. б.), если для любого числа М > 0 существует номер

N (M), такой, что при всех n N

Двыполняется неравенство a M .

n

Обозначение:

lim an (п. б. б.).

И

Пример

n

n2 п. б. б.

Последовательность an называется отрицательно бесконечно

большой (о. б. б.),

если для любого числа М< 0 существует номер

Обозначение: lim an .

С

n

Пример

1 nn2 это не п. б. б., не о. б. б., а б. б. последовательность.

Если 1

1

Основные теоремы о последовательностях, имеющих предел

Теорема 1 (связь

.м. и .

. последовательностей):

1.

an .м., то

1

б.б.

1

.

б

0

an

2. Если an .

., то

. м.

0

.

an

А

Теорема 2. Если lim xn a , то

xn ограниченна.

n

Теорема 3. Если

lim xn a;

lim xn b, то a b. (Если после-

n

n

довательность имеет предел, то он единственный.)

Теорема 4. Если lim xn a;

lim yn b, то

n

n

И

1.

lim xn yn a b;

n

Д

2.

lim xn yn a b;

n

xn

a

3. при b 0

lim

;

n yn

b

4. lim

cx c lim x

n

, где c const.

n

n

n

Теорема 5.

Если

lim xn a;

lim yn

b,

причем xn yn при

n

n

и lim xn lim

yn a, то lim zn

a.

n

n

n

Последовательность xn , для которой выполняется неравенство

С

x1 x2

x3 , называется неубывающей.

Последовательность xn , для которой выполняется неравенство

x1 x2

x3 , называется невозрастающей.

Неубывающ е невозрастающие последовательности называ-

имеет

ются монотонными.

Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность

предел.

та).

бА

1

n

Рассмотр

м последовательность 1

.

n

ет предел, который о означим е; e 2,7 То есть

1 n

e

lim 1

n

n

Д

(e основание натурального логарифма log

e

x ln x;

ex

экспонен-