Материал: 2100

применяя:

-

законы Кирхгофа;

-

метод контурных токов;

С

-

метод эквивалентных преобразований.

2. Найти мгновенные и действующие значения ЭДС и напряже-

ний на всех элементах.

3.

остав ть баланс мощностей цепи.

ных значен й тока напряжения такие же (рис. 2.6, б).

А

Представим напряжение uR2 в комплексной форме (2.4):

б− j60°

.

UmR2 =100e

Определим комплексные значения индуктивного и ёмкостного

сопротивлений (2.20), (2.21):

X L1 = ωL1 = 200 10 10

−3

= 2 Ом;

XC3 = 1 (ωC3 ) = 1 (200 500 10

−6 ) = 10 Ом;

И

Д− j90°

− jXC = − j10 =10e

Ом.

3

С

UmL1 +UmR2 = Em ;

UmR3 +UmC3 −UmR2 = 0

или

jX

L1

I

+ R I

= E

m

;

m1

2

m2

(R − jX

C3

)I

− R I

= 0.

3

m3

2

m2

напряжения

стема уравнен й,

составленных по законам Кирхгофа, с учё-

том заданного

I

−U

mR

2

R

2

− I

= 0;

m1

m3

б

jX L1Im1

+UmR

2

=

Em ;

(R

− jX

C3

)I

−U

mR2

= 0.

3

m3

После подстановки числовых значений система примет вид

А

Im1 − Im3

= 20e− j60°

=

10

− j17,32;

j2Im1

− Em = −100e− j60°

= −50 + j86,5;

(5 − j10)Im3 = 100e− j60° = 50 − j86,5.

Значение тока I

Д

определяем из третьего уравнения системы

m3

Im3 =

100e− j60°

= 8,94e

j

3,43°

= (8,92 + j0,53) А,

11,18e− j63,43°

а значение тока Im1 – из первого уравнения системы

Im1 =10 − j17,32 + Im3

=18,92 − j16,79 = 25,30e− j41,59° А.

Комплексную амплитуду ЭДС находим из второго уравнения

системы

Em = j2Im1 + 50 − j86,5 = j37,84 + 33,58И+ 50 − j86,5 =

= 83,58 − j48,66 = 96,71e− j30,21°В.

Величину тока Im2 вычислим, используя закон Ома

Im2

=

UmR2

= 100e− j60°

= 20e− j60° А.

R2

5

42

без источника ЭДС –

Im22 , тогда система уравнений будет иметь вид

С

(jX

+ R

)I

− R I

= E

L1

m

;

+ (R2 +R3 − jXC3 )Im22 = 0.

− R2 Im11

Комплексные значения токов в ветвях

ходимо

− I

;

I

= I

.

I

= I

;

I

= I

m1

m11

m2

m11

m22

m3

m22

учётом заданного значения uR2

Im2 = UmR2 R2 ,

контурный ток I

нео

представить в виде

m22

I

= I

− I

= I

−U

mR2

R .

m22

m11

m2

m11

2

А

запишется в виде

Тогда исходная система уравнений при R2

= R3

б

(jX L1

+ R2 )Im11

− R2 (Im11

−UmR2 R2 )

= Em ;

− R2 Im11 + (2R2 − jX C3 ) (Im11 −U mR2 R2 )= 0.

jX

L1

I

+ R I

− R I

+U

mR2

= E

m

;

m11

2

m11

2

m11

− R2 Im11 + 2R2 Im11 − jXC3Im11 − 2UmR2 + (jXC3 R2 )UmR2 = 0.

Получим систему уравнений относительно неизвестных значе-

ний Im11 и Em .

jX

L1

I

m11

− E

m

=Д−U ;

mR2

(R2 − jXC3 )Im11 =

(2 − jXC3

R2 )UmR2 .

После подстановки числовых значений система примет вид

= −100e

− j60°

= −50 + j86,5;

j2I

m11

− E

m

И

(5 − j10)Im11 = (2 − j2) 100e− j

60°.

Из второго уравнения системы найдём значение тока Im11.

Im11 =

2,83e− j45° 100e− j60°

= 25,31e− j41,57° = (18,94 − j16,79) А.

11,18e− j63,43°

43

Комплексная амплитуда ЭДС

Em = j2(18,94 − j16,79)+ 50 − j86,5 = 83,58 − j48,62 = 96,69e− j30,19° В.

Значение контурного тока Im22

I

= I

−U

mR2

R

=18,94 − j16,79 −10 + j17,3 = (8,94 + j0,51) А.

m22

m11

2

Комплексные амплитуды токов в ветвях

Im1

= Im11, Im1 = Im11 = 25,31e− j41,57° А;

Im2 = Im11 − Im22 =18,94 − j16,79 − 8,94 − j0,51 =10 − j17,3 = 20e− j60 А;

С

= Im22

= 8,94 + j0,51 = 8,95e

j3,26

А.

Im3

Полученные комплексные значения токов и ЭДС практически

совпадают с найденными ранее величинами путём непосредственного

я первого

второго законов Кирхгофа.

применен

Для расчёта цепей синусоидального тока также применяют

метод экв валентных прео разований.

Проведём эквивалентное преобразование схемы (рис.2.7).

Im1

б

Im1

а

Im1

а

Z1

Z1

Еm

Еm

Еm

Im2

I

Аm3

Z Э

Z 2

Z 3

Z

23

а

b

b

Дб в

Рис. 2.7. Метод эквивалентных преобразований

Найдём комплексные сопротивления ветвей (рис. 2.7, а):

первой:

Z1

= jX L1

= X L1e

j90

= j2 =

Иj90°

2e

Ом;

второй:

Z 2 = R2 = 5 Ом;

−10

третьей: Z

= R

− jX

= 5 − j10 =

52

+102 e

jarctg

= 11,18e− j63,43° Ом.

3

C3

5

3

44

Z 23 =

Z

2

Z

3

=

5

11,18e− j63,43°

=

55,9e− j63,43°

= 3,95e

−

j18,43

°

=

5

+ 5

− j10

Z 2 + Z 3

14,14e− j45

С

= 3,95cos(−

18,43°)+ j3,95sin(−18,43°) = (3,75 − j1,25) Ом.

Входное комплексное сопротивление цепи (рис. 2.7, в):

Z Э = Z1 + Z 23

= j2 + 3,75 − j1,25 = 3,75 + j0,75 = 3,82e j11,31° Ом.

и

Поскольку

звестно напряжение на резистивном элементе U mR2 ,

сначала определяем ток Im2

по закону Ома для данного элемента

UmR2

100e− j60°

− j60°

б

= 20e

А.

Im2 = R2

=

5

А

U m ab = Im1 Z 23

= Im Z 2

= Im Z 3 = U mR2 .

2

3

Найдём комплексные значения токов Im1 ,

Im3 :

Im1 =

U mR2

100e− j60°

= 25,32e

− j41,57°

А;

=

Z 23

3,95e− j18,43°

Im3

= U mR2

=

100e− j60°

= 8,94e j3,43°

А.

11,18− j63,43°

Z 3

ЭДС источника

Em = Im1 Z Э = 25,32e

− j41,57°

j11,31°

− j30,26°

Д3,82e = 96,72e В.

Комплексные амплитуды напряжений определяем по закону

Ома для резистивного (2.14), индуктивного (2.23)Ии ёмкостного (2.34)

элементов:

U

mR3

= R I

= 5 8,94e j3,43° = 44,7e j3,43° В;

3 m3