Материал: 2100

e jψa

= cosψa + j sin ψa .

(2.7)

Комплексное число

A

, модуль которого равен амплитуде си-

m

нусоидальной функции, называется комплексной амплитудой. Но ам-

С

плитуда и действующее значение синусоидальной функции связаны

соотношением A = Am

2

, поэтому расчёт можно вести сразу для

действующ х значен й, если использовать комплексные числа с со-

ответствующ м модулем

A

= A

2

. Число

A

называется комплекс-

ПрименКомплексное ч сло A = p − jq = Ae− jψa

называется сопряжён-

m

ным действующ м значением или просто комплексным значением.

тельно к ЭДС, напряжению и току такие комплексные вели-

чины ( E,U , I ) называют просто комплексной ЭДС, комплексным на-

пряжен ем

комплексным током.

*

Ae

jψa

.

ным ч слу A = p + jq =

Например, для синусоидального тока, определяемого тригоно-

метрическимбвыражением

i = 5

2

sin(314t − 30 ),

комплексное значение

Д

− j30

I

= 5e

А

;

=

5cos30

− j5sin 30 =

5

3 2

− j 5 2

комплексно-сопряжённое значение

И

*

j30

I

= 5e

= 5 3 2 + j 5 2 .

Алгебраическая форма представления удобна для сложения

комплексных чисел,

A

+ A

=

(p + p

2

)+ j(q + q

),

(2.8)

1

2

1

1

2

а показательная – для умножения и деления:

A

A

j

(ψ

+ψ

)

A

A

j(ψ

−ψ

)

= A A e

a1

a

2

;

1

=

1

e

a1

a2

.

(2.9)

A

1

2

1

2

A

2

2

2.1.2. Закон Ома для резистивного, индуктивного

и ёмкостного элементов

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, ин-

дуктивных и ёмкостных элементов определяются происходящими в

них физическими процессами. При анализе цепи переменного тока

необходимо рассматривать амплитудные и фазовые отношения между

токами и напряжениями [1, 2, 3, 5, 6].

Для мгновенных значений напряжения и тока в резистивном

элементе справедл во соотношение, определяемое законом Ома [5]:

С

uR = RiR ,

uR = RIRm sin(ωt + ψi ) = URm sin(ωt + ψu ),

(2.10)

где ампл туды тока

напряжения связаны соотношением

илиURm = RIRm ,

(2.11)

а их начальные фазы од наковые:

ψu = ψi ,

(2.12)

т.е. ток и напряжениебв резистивном элементе изменяются синфазно –

совпадают по фазе, как показано на рис. 2.2, а для начальной фазы

ψu = ψi > 0.

а

I∙R

б

uR, iR

А

∙

.

uR

R

UR

+j

∙

UR

IR

iR

Д

0

ωt

ψu

= ψi

ψu = ψi

0

+1

Рис. 2.2. Цепь синусоидального тока с резистивным элементом:

а – графики изменения напряженияИ, тока;

б – векторная диаграмма на комплексной плоскости

Действующие значения напряжения UR

и тока IR связаны

законом Ома [5]:

UR = RIR .

(2.13)

элемента соответствующими комплексными значениями

IR = IRe jψi

и UR = URe jψu ,

получим закон Ома для резистивного элемента в комплексной форме

С

UR = RIR .

(2.14)

оотношение между комплексными значениями тока и напря-

жения для рез ст вного элемента наглядно иллюстрируется вектор-

ной диаграммой элемента (рис. 2.2, б).

появится

Если в ндукт вном элементе ток синусоидальный

iL = ILm sin(ωt + ψi ),

(2.15)

то по закону электромагнитной индукции на индуктивном элементе

б

напряжен е [5]:

uL = L

di

L = ωLILm cos(ωt + ψi )=ULm sin

ωt + ψi

+

π

=ULm sin(ωt + ψu ), (2.16)

dt

2

А2

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

U Lm = ωLILm ,

(2.17)

а их начальные фазы – соотношением

Дπ

ψ

u

= ψ

i

+ π .

(2.18)

торого видно, что напряжение опережает ток по фазе на угол

ϕ = ψu − ψi =

2

.

(2.19)

Величина

X L = ωL = 2πfL

(2.20)

называется индуктивным сопротивлением [ОмИ], а обратная величина

BL =

1

(2.21)

ωL

а

I∙L

б

uL, iL

XL

.

iL

UL

+j

I∙L

С

U∙

L

ωt

ψu

0

uL

ψi

φ = π/2

ψi

ψu

0

+1

янного тока [5].

Действующиебзначения тока IL и напряжения UL на участке цепи

переменного тока с реактивным индуктивным сопротивлением ХL

связаны по закону Ома [5]:

U L = X L IL .

(2.22)

А

Представив синусоидальные ток и напряжение индуктивного

элемента соответствующими комплексными значениями

I

= I

L

e jψi и U

L

= U

L

e jψu ,

L

получим закон Ома для индуктивногоДэлемента в комплексной форме

+

π

j ψi

(2.23)

UL = X LILe jψu = X LILe

2

= jX LIL .

Ψ = LIL .

(2.24)

Тогда выражение (2.23) примет вид

С

UL = −EL = jωΨ .

(2.25)

Полученное уравнение представляет закон электромагнитной

индукц

в комплексной форме.

Если напряжен е между выводами ёмкостного элемента изме-

синусоdt

2

няется по с нусо

дальному закону

uC = UCm sin(ωt + ψu ),

(2.26)

то

дальный ток [5]:

du

б

π

i = C

C

= ωCU

Cm

cos(ωt + ψ

u

)= I

Cm

sin ωt + ψ

u

+

= I

Cm

sin(ωt + ψ

), (2.27)

C

i

где ампл туды тока напряжения связаны соотношением

А

ICm

= ωCUCm

,

(2.28)

а начальные фазы – соотношением

ψi

= ψu

+ π .

(2.29)

Дπ

2

На рис. 2.4,

а показан график мгновенных значений синусои-

ϕ = ψu − ψi

= −

2

.

(2.30)

Величина

X С =

1

=

1

(2.31)

ωC 2πfC

И

называется ёмкостным сопротивлением [Ом], а обратная величина

BC = ωC

(2.32)