Материал: 2039

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 6. Перед тем, как перейти в основное состояние с

испусканием фотона, атом находился в возбуждённом состоянии в течении промежутка времени τ ≈ 12 нс. Средняя длина волны излучения λ = 120 нм. Найти минимальную неопре-

делённость длины волны (ширину спектральной линии).

∆λ = ?

Решение.

Соотношение неопределённостей,

τ = t =12·10-9 с

связывающее

энергию

продолжительность

λ =120 10−9 м

h = 6.63·10 –34 Дж·c

события, имеет вид

(1)

с = 3,00·108 м/с

E t

≥

где =

; h – постоянная Планка; E = hcλ

– энергия фотона.

2 π

λ.

dE = λ2 d λ; =>

(2)

λ2

Решая систему уравнений (1) и (2), получим

λ ≥

(3)

4π τ c

(1,2 10−7)2

λ ≥

−14

= 0,032 10

м.

−8

4 3,14 1,2 10 3,0 10

Ответ: Неопределённость длины волны (ширина спектральной линии) излучения данного атома составляет Δλ = 0,32 фм.

Пример 7. Вычислить вероятность Р обнаружения микрочас-

тицы в промежутке координат 0 ≤ x ≤ ⅓ℓ, когда частица находится в первом возбуждённом состоянии (n = 2) в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной ℓ.

Р = ?

Решение.

Вероятность

обнаружения частицы

n = 2

промежутке

координат

от

до

вычисляется

по

x1 = 0; x2 = ⅓ℓ

π x n

с = 3,00·10

м/с формуле

Р = ∫ψn( x) dx ,

где

ψn( x) = Asin

–

ℓ

волновая функция частицы, заключённой в потенциальную яму с

бесконечно

высокими стенками;

A = √

2/ℓ

;

–

квантовое

число

(номер состояния), n = 1, 2, 3, … .

По условию данной задачи имеем n = 2; x1 = 0; x2 = ⅓ℓ.

⅓ ℓ

2 π x n

⅓ ℓ

2π x n

Р = l

∫0

(sin

) dx =

ℓ

∫0

− cos

) dx ;

ℓ

115

⅓ ℓ

⅓ ℓ 1

2 π x n

1 ℓ

⅓ℓ 2 π n

Р = ∫0

ℓ dx −∫0 ℓ

(cos

ℓ

) dx =

−

ℓ

(sin

ℓ

−sin 0).

2 π n

Учитывая, что частица находится не в основном (n = 1), а в первом возбуждённом (n = 2) состоянии, получим значение вероят-

ности Р =

−

sin(

4 π

);

Р = 0,333 − (−0,0690) = 0,402.

4π

Ответ. Вероятность обнаружения частицы в заданном проме-

жутке координат P = 0,402.

Можно

проверить

правильность расчётов,

ψ2(x)

n = 2

принимая

во внимание

геометрический

смысл

интеграла

P=∫ψn2( x)dx .

Вся площадь,

огра-

½ℓ

ℓ x

ниченная сверху графиком ψ2(x), а снизу осью 0х

Рис. 41

(рис. 41),

считается

равной

единице, поскольку

вероятность P обнаружить частицу в промежутке координат от 0 до ℓ P0 - ℓ = 1. Приближённое значение искомой вероятности P0 - ⅓ℓ ≈ 0,4 найдём, оценив площадь под кривой в промежутке от 0 до ⅓ℓ (слева от штриховой линии) и разделив её на всю площадь под графиком в промежутке от 0 до ℓ .

Радиоактивность

Пример 8. Вычислить вероятность P того, что определённое

ядро радиоактивного изотопа Ро-218 распадётся в течение ближайшей минуты.

P = ?	Решение. Вероятность распада определяется
t =1 мин = 60 с	формулой
T½=3 мин =180 с	dP=−dN , или P=− N ,
NA = 6,02·1023 моль-1	dP=−dN , или P=− N ,
	N 0	N 0
где N – число радиоактивных ядер; N = N – N0 – изменение их числа.
Знак "−" обусловлен тем, что N < 0,		тогда как вероятность –

положительная величина, Р > 0.

Число радиоактивных ядер вследствие распада уменьшается по экспоненциальному закону N = N 0 e−λt , где t – время; N = N0

в момент t0 = 0; λ = ln 2/T 1/ 2 – постоянная распада; T1/2 – период полураспада (табличные значения см. в прил. 6).

116

		N 0−N 0 e	−λ t	ln2
Таким образом,	P =			= 1−e−λt => P = 1−e−T1/2 t .
		N 0

Для данного изотопа с периодом полураспада T1/2 = 3 мин вероятность распада отдельного атома в течение ближайшей минуты (t = 1 мин) составляет Р = 0,2, т. е. 20 %.

Пример 9. Из каждого миллиарда атомов некоторого радиоак-

тивного изотопа за одну минуту распадается в среднем пятьсот атомов. Вычислить период полураспада и определить, какому изотопу (см. прил. 6) он соответствует.

N0		T	½	= ?		Решение. Способ 1. Число	радиоактивных атомов

	= 1,0·109				уменьшается со временем по статистическому закону
t = 1,0·60 с
						N =N 0 e− λt ,	(1)
N = 500
где		N0 − число				их в момент t0 = 0; λ	− постоянная распада;

λ = ln 2/T 1/ 2 ;

T½ – период полураспада –

время,

за

которое

количество радиоактивных атомов уменьшается вдвое.

Уравнение (1) перепишем в виде

−ln 2

N =N e

T 1/ 2 .

Анализ исходных данных показывает,

что

500 2 1,0 10 ,

следовательно

t T ½ . Учитывая приближённое равенство ех ≈ 1+х

при малом х (см. прил. 5), получим

N =N 0 (1−ln 2

(2)

T 1/2

Подставим выражение (2) в формулу |ΔN|=N0−N для числа рас-

павшихся атомов: N =N 0 ln 2

. Из

полученного

выражения

T 1/ 2

N 0

найдём период полураспада T 1/2= ln 2

t .

Способ 2. Активность радиоактивного нуклида по определению

равна	A= dN	,	что даёт для малого промежутка времени (t T½)
	dt			N
			A =	N	.	(3)
			A =		.	(3)
				t

117

По	условию	A =	500			С	другой стороны,
				60 Бк .

где N ≈N0	в данном случае;			λ = ln 2			. Отсюда следует:
					T 1/2

A = ln 2 N 0 .

T 1/ 2

Из системы уравнений (3 ) и (4) получим

Δ N	= N	ln 2	=>	T		= ln 2		N 0	t .

t							Δ N
	0 T 1/ 2				1/2

A = λ N ,

(4)

Способ 3. Приращение числа радиоактивных ядер dN за бесконечно малый промежуток времени dt определяется законом

радиоактивного распада в дифференциальной форме
dN =− λ∙ N ∙ dt ,	(5)
где λ − постоянная распада, λ = ln 2 ; T½ − период	полураспада;
T 1/2

N − число радиоактивных атомов на данный момент времени.

По условию число ядер, распавшихся за данное время, много меньше половины их начального числа (500 << ½ 1,0 109 ), следова-

тельно t T½, т. е. время наблюдения t очень мало по сравнению с периодом полураспада. В таком случае уравнение (5) можно упрос-

тить:	Δ N=N 0 ln 2 t ,	где \| N\| − число распавшихся ядер. Отсюда
	T 1/ 2			N 0
период полураспада выражается в виде T 1/2= ln 2				N 0	t .
период полураспада выражается в виде T 1/2= ln 2			Δ N		t .
			Δ N
	T 1/2= 0,693 1,0 10	9		T 1/2=2,6 года .
	T 1/2= 0,693 1,0 10	1,0 мин=139 104 мин.		T 1/2=2,6 года .
	500

Это значение соответствует изотопу Na-22 (см. прил. 6).

Пример 10. Выделили 0,20 грамма радия-226 и поместили в

закрытую капсулу. В результате альфа-распада в капсуле накапливается радиоактивный газ радон и устанавливается радиоактивное равновесие. Записать уравнения распада радия и радона. Определить активности радия и радона после 1 года распада.

118


ARa= ? ARn	= ?
m = 0,20·10-3 кг
МRa = 0,226			кг
МRa = 0,226		моль
MRn = 0,222			кг
MRn = 0,222			моль

t =365·24·3600 с

NА=6,02·1023 1

моль

T½Ra = 1620 лет T½Rn = 3,823 сут

Решение. Из определения активности			A= dN		и
закона радиоактивного распада N =N e−λ t				dt
				следует
		0
A= A0 e−λt , где А=λ N и А0=λ N 0 . Число				ради-
оактивных атомов N, можно найти, как показано в
предыдущем примере,	при	условии	t T ½		по
формуле N =N 0 (1−ln 2	t	).

T 1/ 2

Условие радиоактивного равновесия имеет вид A1 = A2 = … , или λ1 N 1 = λ2 N 2= ... ,

где λ1, λ2, ... и N1, N2, ... – постоянные распада и числа атомов членов радиоактивного семейства соответственно.

Активность	ARa =	ln 2 N 0 Ra	(1−	ln 2 t	), где N 0 Ra=	m	N A	–
		T(1/2)Ra		T (1/ 2)Ra		M

начальное число атомов радия; m – масса; М – молярная масса радия; NA – постоянная Авогадро.

Из условия задачи следует, что активности всех членов радиоактивного семейства одинаковы, поскольку достигнуто равновесие. В данном случае

ARa = ARn.

Произведя вычисления, получим начальное число атомов радия N 0 Ra=5,3 1020 и активности радия и радона ARa = ARn = 7,2 ГБк.

Ядерные реакции

Пример 11. Покоящийся дейтрон поглощает γ-квант и распа-

дается на две частицы: протон и нейтрон. Кинетическая энергия образовавшихся частиц в сумме составляет 2,3 МэВ. Определить импульс γ-кванта и длину волны соответствующего электромагнитного излучения.

| p | = ? λ=?

md = 2,0135532 а.е.м. mp = 1,0072765 а.е.м. mn =1,008665 а.е.м.

с2 = 931,49 МэВ/а.е.м. с = 3,00·108 м/с

h = 6,63·10-34 Дж·с Kp+Кn= 3,68·10-13 Дж

Решение. Схема данной ядерной реакции:

2 H + γ →	1H +	1 n, или d (γ ,n) p .
1	1	0
Закон сохранения энергии приводит к
уравнению
E0d + Eγ = E0p + E0n + (Кp + Кn),
где E0d = mdc2, E0p = mpc2		и E0n = mnc2 – энергии

119

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)