Материал: 2039
расстояние x2 между центральным и вторым главным максимумами (x2 = 21,4 см). Экран удалён от решётки на L = 1,8 м. Период решётки d = 8,0 мкм, Какое значение длины волны получено в данном опыте ?
10. Свет с длиной волны λ = 530 нм падает нормально на дифракционную решетку с периодом d = 1,50 мкм. Найти угол дифракции, под которым наблюдается максимум наибольшего порядка.
4. Квантовая физика
Пример 1. Оценить число N квантов видимого света,
регистрируемых глазом человека за одну секунду на расстоянии 1 м от лампы накаливания мощностью 0,1 кВт. Доля излучения лампы, приходящаяся на видимую область, составляет около 1%. Диаметр зрачка глаза d = 4 мм; cредняя длина волны видимого света <λ> = 0,6 мкм. Лампу считать изотропным источником14.
|
N |
вид = ? |
|
|
Решение. По закону сохранения энергии |
||||||
|
|
|
|
||||||||
P = 0,1·103 Вт |
-3 |
м |
|
W подв = W изл , |
|
(1) |
|||||
r = 1 м; d = 4 ·10 |
|
где Wподв = P∙t – энергия, подводимая к лампе за |
|||||||||
λ = 6·10–7 м |
|
|
|||||||||
η = 0,01 |
|
|
время t; Р – |
электрическая |
мощность |
лампы; |
|||||
|
|
Wизл – энергия излучения. |
|
|
|||||||
h = 6.63·10 –34 Дж·c |
|
|
|||||||||
с = 3,00·108 м/с |
|
|
Энергия видимого излучения с учётом (1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
W вид=ηP t , |
|
(2) |
|||
С другой стороны, согласно гипотезе Планка |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
W вид=N вид h ν, |
(3) |
||||
где Nвид – число |
квантов видимого света; hν |
– энергия |
кванта; |
||||||||
ν = c/λ – частота излучения; с – скорость света; λ – длина волны. |
|||||||||||
Объединяя (2) и (3), получим |
|
с |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ηP t=N |
h |
|
, |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
вид |
|
|
|
||
Число квантов, попадающих в глаз, находящийся на расстоянии r от точечного источника света, во столько раз меньше числа излучаемых квантов, во сколько площадь зрачка глаза меньше
площади сферы радиуса r: |
N гл |
= |
Sгл |
, где |
Sгл= |
π d2 |
; Sсф=4 π r |
2 |
; |
N вид |
Sсф |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d – диаметр зрачка.
14 Изотропный источник – (isos (греч.) – равный, одинаковый; tropos – поворот, направление) – источник, излучающий одинаково во всех направлениях.
110
Используя выражение (4), находим |
N вид= |
ηP tλ |
d2 |
. |
||||||||
16 r2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h c |
|
|
||
|
[N вид ]= |
Вт c м c м2 |
= |
Дж |
=1. |
|
|
|
||||
|
Дж c м |
|
Дж |
|
|
|
||||||
|
|
м2 |
|
|
|
|
|
|
||||
N вид= |
10−2 102 1(4 10−3)2 0,6 10−6 |
= |
9,6 10−12 |
= 3 1012 . |
||||||||
16 12 6,6 10−34 3,0 108 |
|
300 10−26 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Какой максимальный потенциал приобретёт
серебряный шарик, изолированный от других тел, в результате длительного облучения ультрафиолетовым светом с длиной волны 63 нм?
max |
= ? |
Решение. В данном случае имеет место фото- |
φш |
эффект – явление, при котором кванты света |
|
λ = 63·10–9 м |
|
|
Aв=4,28·1,60·10 –19 Дж |
(фотоны), бомбардируя поверхность металла, |
|
h = 6.63·10 –34 Дж·c |
выбивают электроны, Энергия фотона расхо- |
|
qe = e = –1,602·10 –19 Кл |
дуется на вырывание электрона из металла и на |
|
с = 3,00·10 8 м/с |
сообщение кинетической энергии: |
|
где ε = hν, или ε=hc |
ε = Aв + Ке, |
(1) |
– энергия фотона; h – постоянная Планка; |
||
λ |
|
|
ν – частота падающего излучения; λ – длина волны; с – скорость света в вакууме; Aв – работа выхода (см. прил. 6); К е = m2υ2 – кинети-
ческая энергия фотоэлектрона (электрона, выбитого квантом света с поверхности металла).
|
|
По условию энергия кванта hс/λ = 31,57·10 –19 Дж, что больше |
||||||||
R |
|
- e → |
|
|
– e |
работы выхода. Изолированный |
проводник, |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
теряя |
электроны, |
приобретает |
положитель- |
|
+ Q r1= R |
r2 = ∞ |
|||||||||
ный |
заряд q и соответствующий электриче- |
|||||||||
|
|
φ1=φшmax |
φ |
2 |
= 0 |
|||||
|
|
K1 = ε –Aв |
|
|
ский потенциал φш. Потенциал электрического |
|||||
|
|
K2 = 0 |
||||||||
|
|
Рис. 40 |
|
|
|
поля |
заряженного |
шара (рис. 40) φ = k q , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
где q – заряд шара; r – расстояние от центра |
||||
шара (r > R); k = 9·109 В·м/Кл; R – радиус шара.
Электрический потенциал поверхности шара φш = k qR .
111
Поле положительно заряженного шара тормозит вырываемые отрицательно заряженные частицы. При достижении некоторого
максимального заряда шара Q и соответствующего потенциала φшmax
скорость вылетевших электронов под действием кулоновской силы уменьшается до нуля и они возвращаются обратно. Дальнейшее облучение не увеличивает заряд шарика и, следовательно, его потенциал. Максимальный потенциал поверхности шарика
φmaxш = k QR .
Чтобы найти искомую величину φmaxш , используем теорему об изменении кинетической энергии. Работа всех сил, действующих на
тело, равна изменению его кинетической энергии, А = |
K, или |
е(φ1 – φ2) = K2 – K1, |
(2) |
где А = е(φ1 – φ2) – работа кулоновской силы; φ1 = |
φшmax = k Q ; |
|
R |
φ2 = 0; К1 = ε – Aвых , согласно (1); K2 = 0.
Подставляя в (2) выражения величин φ1, φ2, K1, K2 и ε, получим
|
|
|
e φшmax= 0−K1 , |
или |
e φшmax=0−(h ν−Aвых). |
|||||||
|
|
|
|
|
−(h |
c |
−Aвых) |
|
|
|
||
|
|
|
max |
λ |
|
|
|
|||||
|
|
|
φш |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После проверки расчётной формулы по наименованию единиц |
||||||||||||
величин, входящих в уравнение, вычислим искомую величину |
||||||||||||
max |
|
−(6,63 10−34 3,00 108/(63 10−9)−6,848∙10–19) |
|
max |
||||||||
φш |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
φш = 15,4 B. |
|
|
−1,602 10 |
−19 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Определить наибольшую длину волны К-серии излучения рентгеновской трубки с молибденовым анодом.
λ max= ?
Z = 42 σ = 1
ni = 2; nf = 1
R = 1,10·10 7 м-1
Решение. В отличие от сплошного рентгеновского спектра, вид которого определяется ускоряющим напряжением, спектр характеристического излучения
состоит из отдельных линий. Положение линий в спектре можно рассчитать по сериальной формуле
1 |
= Rλ (Z−σ)2 ( |
1 |
− |
1 |
), |
λ |
|
|
|||
|
n2f |
ni2 |
|||
где λ – длина волны, соответствующая спектральной линии, наблюдаемой при переходе электрона с энергетического уровня с номером ni на уровень с номером nf (ni > nf); Rλ – постоянная Ридберга;
112
Z – целое число, характеризующее вещество анода рентгеновской трубки (порядковый номер химического элемента в периодической таблице); σ – постоянная экранирования.
В расчётах длин волн К-серии принимается значение σ = 1. Молибден имеет порядковый номер Z = 42. Поскольку в данной задаче Z и σ – постоянные величины, то длины волн рентгеновского излучения определяются только номерами начального ni и конечного nf уровней. Для К-серии nf = 1, так как данная серия спектральных линий образуется при переходах электронов на первую (считая от ядра) оболочку со всех более удалённых (ni = 2, 3, 4 … ∞). Очевидно, что наибольшей длине волны соответствует переход электрона с ближайшей (второй) оболочки, т. е. ni = 2, на первую (nf = 1).
Подставляя числовые значения в формулу, получим λ−1 =1,10 107(42−1)2 (1−1/4). λ = 7,23·10–11 м = 72 пм.
Пример 4. Определить давление света, излучаемого нитью
10-ваттной лампы накаливания, на внутреннюю стенку стеклянной колбы этой лампы. Колба имеет вид цилиндра диаметром 20 мм и длиной 100 мм, по оси которого расположена нить. Стенки лампы пропускают 70 % излучаемой нитью энергии; 10 % света поглощается в стекле и 20 % отражается.
p= ? |
Решение. На основе квантовой гипотезы Планка и |
||||||
P = 10 Вт |
закона сохранения импульса можно получить формулу |
||||||
Wпр = 0,70W0 |
светового |
давления на |
непрозрачную поверхность |
||||
Wпогл = 0,10W0 |
|||||||
|
I |
|
|
W |
|
||
Wотр = 0,20W0 |
|
|
|
|
|||
d = 20·10-3 м |
p = c (1+ |
ρ), где I = S t |
– интенсивность падающе- |
||||
l = 100·10-3 м |
го света; ρ – коэффициент отражения; W = Wпогл + Wотр |
||||||
с = 3,0·10 8 м/с |
– сумма |
поглощённой |
и отражённой энергий; |
||||
с – скорость света в вакууме.
По условию задачи поглощённая и отражённая энергии составляют в сумме 30 % излучаемой энергии W0, т. е. W = 0,3W0. Соответствующая мощность – W/t = 3 Вт. Из этого количества, учитываемого в расчётах давления света, отражённая часть составляет 2 Вт; поглощённая – 1 Вт. Следовательно, коэффициент отражения света от стенки лампы ρ = ⅔.
Можно считать, что вся энергия, излучаемая нитью, распределяется по цилиндрической поверхности колбы, поскольку по сравнению с ней суммарная площадь торцевых поверхностей мала ( 2πr2 << 2πrl).
113
