Материал: 2039

Задание 17. Кинематические характеристики колебательного процесса

1. Уравнение движения точки имеет вид х=4sin(π t /6), где х – смещение точки, см; t – время, с. Найти момент времени t* (t* ≠ 0), когда модуль ускорения достигает максимума.

2. Записать уравнение x(t) гармонических колебаний частицы при следующих условиях: в начальный момент (t0 = 0) смещение максимально x0 = хm = 5 cм; начальная фаза φ0 равна нулю; период колебаний Т = 2,0 с. Найти фазы колебаний φ1, φ2, … φn, при которых скорость частицы (по модулю) достигает максимума.

3. Движение материальной точки происходит согласно закону x = 0,20·сos(πt + π/2), где х – координата точки, м; t – время, с. Найти период колебаний и амплитуду ускорения.

4.Груз на пружине совершает колебания с частотой 0,50 Гц. Амплитуда колебаний 3,0 см. Определить скорость груза в момент времени, когда смещение равно 1,5 см.

5.Смещение тела от положения равновесия подчиняется закону

синуса с начальной фазой φ0 = 0, амплитудой 10 см и угловой частотой 10π с ¹. Построить график зависимости смещения от времени x(t) в интервале от t = 0 до t = T, где Т – период колебаний. Определить моменты времени, когда скорость тела равна нулю.

6.Частица колеблется по гармоническому закону. За какую часть периода колебаний частица проходит: а) первую половину пути от среднего положения до крайнего; б) вторую половину этого пути?

7.Уравнение движения тела имеет вид х = 2,0·sin(10πt/4 + π/4), где х – смещение точки, см; t – время, с. Определить: а) частоту колебаний ν; б) начальную скорость.

8. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению х = 5·sin10πt, где х – смещение, см; t – время, с. Найти: а) ближайший к началу отсчёта момент времени t* (t* ≠ 0), когда смещение точки максимально по модулю; б) фазу колебаний φ* в этот момент.

9. Скорость частицы изменяется по закону косинуса и в начальный момент равна 50 см/с. Период колебаний 10 мс. Начальная фаза равна нулю. Определить период колебаний и амплитуду ускорения.

10. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению х = 50·соs2πt, где х – смещение, мм; t – время, с. Найти смещение точки х* и фазу колебаний φ* в момент времени t* (t* ≠ 0), когда модуль скорости точки достигает максимума.

100

Задание 18. Сложение гармонических колебаний

1. Точка участвует одновременно в двух колебаниях: x = 2,0sinπt и y = –1,0cosπt, где х и у – смещения, см; t – время, с. Изобразить траекторию движения и записать уравнение у(х).

2.На вход Y осциллографа подано напряжение uy = 10sin(103πt), а на вход X – uy = 12cos(103πt), где uy и uy – напряжения, В; t – время, с. Зарисовать траекторию у(х) луча, наблюдаемую на экране, учитывая, что смещение луча пропорционально напряжению.

3.Найти уравнение результирующего колебания x(t) при сложении двух синфазных гармонических колебаний в направлении оси Х с

амплитудами А1= 2 см; А2 = 4 см, с одинаковым периодом T = 2 с. Изобразить график x(t) в координатах «смещение – время».

4.Колебания точки происходят в двух взаимно перпендикулярных направлениях с угловой частотой 3,14 с ¹. Амплитуды колебаний:

xm = 3 см и ym = 4 см. Разность фаз равна нулю. Записать уравнения колебаний x(t) и x(t); зарисовать траекторию в плоскости Х0Y.

5.Точка участвует одновременно в двух колебаниях с одинаковым периодом и одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны 3 и 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: а) колебания совершаются в одном направлении; б) колебания взаимно перпендикулярны.

6. Движение тела задано двумя уравнениями: x = 10·sin2t и y = 5,0·sin(2t +π/2), где х и у – смещения, см; t – время, с. Найти уравнение траектории у(х) и скорость тела в момент t = 1,0 с.

7.Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x = 3,0sinπt и y = 4,0cosπt, где х и у – смещения, см; t – время, с. Определить: а) два момента времени, начиная с начала отсчёта, когда скорость точки максимальна; б) скорость точки в момент t* = 0,50 с.

8.Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям: x = 2cos2t и y = 4sin2t, где х и у – смещения точки, см; t – время, с. Найти уравнение траектории, построить её с соблюдением масштаба и указать направление вектора скорости в начальный момент времени.

9.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами 1,5 с и амплитудами 2,0 см. Начальные фазы колебаний ½π и ⅓π. Определить угловую частоту, амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать его уравнение и построить векторную диаграмму амплитуд.

101

10. Используя графический метод сложения векторов амплитуд, найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одного направления: x1 = 3,0cos2πt и x2 = 3,0cos(2πt + π/8), где x1 и x2 –

смещения, см; t – время, с.

Задание 19. Гармонические осцилляторы: колебательный контур, груз на пружине, математический и физический маятники

1.Груз закреплённый на пружине, совершает колебания с периодом 2,0 с. Масса груза 10 кг, полная энергия колебательной системы

10Дж. Определить амплитудное значение силы упругости.

2.На конце стержня массой mст = m и длиной 1,0 м прикреплён груз массой mгр = 2m. Чему равна собственная частота колебаний данной системы относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину?

3.Колебания в контуре происходят по закону u = 50·cos104πt, где u – разность потенциалов на обкладках конденсатора, В; t – время, с. Какова индуктивность L контура, если его электроёмкость равна 0,10 мкФ? По какому закону q(t) изменяется заряд конденсатора?

4.Индуктивность колебательного контура равна 0,20 Гн, электроёмкость – 10 мкФ. Когда напряжение на конденсаторе достигает 1,0 В, сила тока в контуре равна 10 мА. Найти амплитудное значение силы тока в контуре.

5.Определить угловую частоту вертикальных колебаний груза массой m = 8,0 кг, закреплённого на двух пружинах между горизонтальными опорами. Жёсткость пружины с одной стороны груза k1 = 1,5 кН/м, с другой – k2 = 1,0 кН/м.

6.Колебания груза массой m = 2 кг на пружине жёсткостью k

совершаются по закону х = 0,05cos10πt, где х – смещение, м; t – время, с. Найти величину k.

7. На конце стержня длиной ℓ = 1,0 м и массой m = 2,0 кг укреплён груз mгр = 1,0 кг. Определить период колебаний данного маятника в поле тяготения Земли относительно оси, проходящей горизонтально через свободный конец стержня.

8. Радиоприемник настроен в резонанс с передающей радиостанцией на частоте 106 МГц при электроёмкости приёмного колебательного контура С0. Определить диапазон принимаемых длин волн при

изменении ёмкости контура от С1 = 9С0 до С2 = С0/9.

102

жёсткостями: k1 = 1 кН/м и k2 = 9 кН/м.

10. Сито совершает колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой А = 10 см. При какой минимальной частоте ν колебаний частицы, рассыпанные на решётке сита, начнут проскальзывать? Коэффициент трения равен μ = 0,20.

Задание 20. Свободные колебания

1. Груз массой m = 160 г на пружине совершает свободные колебания. Жёсткость пружины k = 250 Н/м, логарифмический декремент данной системы Λ = 4,00·10 3. Определить время и число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшится в два раза.

2. За промежуток времени Т = 10 мс, равный периоду колебаний, энергия колебательной системы уменьшилась в 4 раза. Найти логарифмический декремент данной системы и коэффициент затухания.

3.Индуктивность колебательного контура L = 5 мГн, активное сопротивление R = 8 Ом. Сила тока в контуре за 50 полных колебаний уменьшается в 3 раза. Рассчитать электроёмкость и добротность данного контура.

4.Колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью C = 0,405 мкФ и катушки индуктивностью L = 10,0 мГн с активным сопротивлением R = 2,00 Ом. Во сколько раз уменьшается амплитуда свободных колебаний за время одного периода?

5.Добротность колебательной системы Q = 62,8; собственная

частота ν0 = 8,0 кГц. Какая часть первоначальной энергии системы сохранится после 100 колебаний?

лением R = 1,0 Ом. Конденсатору сообщён заряд Q0 =1,0 мКл. Определить период колебаний в контуре и логарифмический декремент. Записать закон изменения напряжения u(t) на обкладках конденсатора.

7. Колебательный контур обладает электроёмкостью 7,0 мкФ, индуктивностью 0,23 Гн и активным сопротивлением 40 Ом. Найти логарифмический декремент и собственную частоту контура.

103

8.Каково время релаксации11 τ колебательной системы, если за промежуток времени t = 16 с амплитуда уменьшается в пять раз?

9.Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью

25мГн и конденсатора электроёмкостью 10 мкФ. Амплитуда силы тока в контуре понижается в е раз (е = 2,718...) за 23 полных колебания. Определить сопротивление контура.

10.При наблюдении свободных колебаний с периодом Т = 0,50 с выяснилось, что после второго колебания амплитуда на 10,0 % меньше, чем после первого. Определить коэффициент затухания β и логарифмический декремент Λ.

Задание 21. Вынужденные колебания

1.Вынужденные колебания груза на пружине происходят в вязкой среде с коэффициентом затухания β = 0,8 с-1. Масса груза m = 0,2 кг; жёсткость пружины k = 0,1 кН/м. При какой частоте колебаний вынуждающей силы амплитуда колебаний груза максимальна?

2.Собственная частота колебательной системы ν = 10,0 кГц. Резонанс наблюдается на частоте, которая меньше собственной на 0,2 кГц. Оценить логарифмический декремент данной системы.

подключена к источнику переменного тока, действующее напряжение которого U = 220 В, то сила тока равна 6,0 А. Если эту же катушку подключить к источнику постоянного тока того же напряжения, то сила тока возрастёт до 11 А. Определить частоту ν переменного тока.

5. Колебательный контур обладает активным сопротивлением 2,0 Ом, индуктивностью 60 нГн и электроёмкостью 0,040 мкФ. В нём поддерживаются колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U0 = 1,5 В. Какую среднюю мощность потребляет контур?

6. Груз массой 1,0 кг, подвешенный на пружине жёсткостью 8,1 кН/м, совершает вынужденные колебания в жидкости под действием силы, изменяющейся по гармоническому закону. Амплитуда

11Время релаксации – время, за которое амплитуда свободных колебаний уменьшается

ве раз (е = 2,718).

104