Материал: 2039

√

½ mR2 + mR2

√

В первом случае d = R и

T 1= 2 π

= 2

π

1,5

R

.

mgR

g

√

√

2

½ mR2 +¼ mR2

.

Во втором случае

d =

R

и T 2=2

π

=2

π

1,5

R

½ mgR

g

A0−

ν

0

=?

Решение. Амплитуда свободных колебаний умень-

A

=0,600

шается со временем по экспоненциальному

закону

A0

A = A0 e−βt , где А0 – начальная амплитуда; β – коэф-

β = 1,83 с-1

фициент затухания; t – время.

t = 2T

По условию А = 0,400А0, или A e−β t =0,400 A ,

0

0

Логарифмируя, получим

β 2T =ln 2,50;

T = ln 2,50 .

2 1,83

Период свободных колебаний T = 0,2504 с.

Угловая частота свободных колебаний ω связана с собственной

2

2 π

2

2

угловой частотой ω0 уравнением

ω

= √ω0

−β

, где

ω=

= 2 π ν ;

T

ω0 = 2 π ν0 ; ν0 –

собственная

частота

колебательной

системы.

2

1

2

β

2

Отсюда следует: (2 π ν

)2=( 2π ) + β2 и

ν02=(

) +

;

4 π2

0

T

T

ν02 = (

1

2

1,83

2

) +

= 16,0338.

ν0 ≈ 4,00 Гц.

0,2504

39,5

Λ = ? R=?

Решение. Закон изменения амплитуды затухающих

колебаний имеет вид

C=0,20·10–6 Ф

U 0

L= 5,1·10–3Гн

U = U 0 e

−βt

=>

= e

βt

,

(1)

U 0

=3

U

U

где

β = R/(2 L) – коэффициент затухания.

t = 1,0·10-3 c

Логарифмический декремент Λ связан с периодом

колебаний

Т

формулой:

Λ = β T ,

где коэффициент

затухания β

определяется из уравнения (1).

По условию задачи U0/U = 3; => ln 3=β 10−3 =>

β=1,1 103 c−1 .

Период

можно выразить через

угловую частоту

T =

2 π

, где

1

ω

2

2

2

ω=√ω0−β ;

квадрат собственной угловой частоты.

ω0= LC −

1

ω02 =

c−2 = 0,98·109 c−2 .

0,20 10−6 5,1 10−3

Так как в данном случае ω02 >> β2, то ω ≈ ω0.

T

=

2 π

; T =

2 3.14

c = 2,0 10

−4

c = 0,20 мс .

ω0

√9,8 10

8

Λ = β T ;

Λ = 0,22.

Логарифмический декремент

Сопротивление контура

R = 2βL;

R =2·1,1·103·5,1·10-3 ; R =11 Ом.

I

0=? U0R

=? U

0L

=?

Решение.

Для

нахождения

C

L

R

искомых величин используем закон

U0С=

? φ=?

Ома

для

амплитуд

напряжения

U0C

U0L

U0R

R = 30 Ом

L =45 ·10–3 Гн

и силы

тока I 0 =

U 0

, где U0 –

Ø~Ø

С= 20 ·10–6 Ф

Z

Рис. 33

U0 = 12,8 В

амплитуда напряжения на концах цепи; Z – полное

ν = 50 Гц

сопротивление.

На векторной диаграмме (рис. 34) показаны

U0L

амплитуда силы тока Io, амплитуды напряжений на

U

0R

I0

отдельных элементах, U0R, U0L, U0C и сдвиг фаз φ U0C–U0L

φ

колебаний силы тока Io и колебаний напряжения U0

U0

в данной цепи. Напряжение на катушке U0L отстаёт

U0C

на 90° от колебаний силы тока в цепи, а на

конденсаторе U0C – опережает на те же 90°.

Рис. 34

По теореме Пифагора

(I0 Z )2 = (I 0 X C−I 0 X L)2 +(I 0 R)2 .

U 02 = (U 0C −U 0 L)2 + U 02 R , или

Полное

сопротивление

Z = √

,

гдe X L = ω L –

( X C− X L)2 + R2

индуктивное сопротивление;

1

– ёмкостное сопротивление;

X C=

ωC

R – активное сопротивление; ω = 2πν – угловая частота; ν – частота

колебаний тока в цепи. Подставляя числовые значения, получим

ХL = 141 Ом; ХС = 159 Ом;

Z=√

; Z = 35 Ом.

(141−159)2 +302

Амплитуда силы тока I 0 = 12,8 B = 0,37 A.

Амплитуды напряжений:

35 Ом

на конденсаторе U 0 C=I0 X C = 0,37 159; U 0C = 58 B;

на катушке

U0L = I 0 X L = 0,37 141; U 0 L = 52B;

на резисторе

U0R =

I 0 R=0,37 30; U 0 R = 11 B.

L = ?

Решение. По закону Ома для участка цепи постоянного

Iпер = 6 А

тока,

I пост= U

,

где R – активное сопротивление, найдём

Iпост =11 А

R

U = 220 В

R =

U

; R=

220 B=22 Ом.

ν = 50 Гц

I пост

11А

Выражение закона Ома для участка цепи переменного тока

имеет вид I

U

U – действующее10 напряжение; I –

= Z , где

действующая

сила

тока; Z=√

( X L− X C )2 + R2

–

полное

сопротивление

участка;

X L = ω L – индуктивное сопротивление;

X C =

1

–

ёмкостное

сопротивление; L – индуктивность; C –

ωC

сопротивление катушки

X L = ω L.

X C в данной цепи

Так как ёмкостное

сопротивление

отсут-ствует, то

Z = √

X 2L + R2

,

или

Z=√

(ω L)2 + R2

.

По закону Ома I пер= U

найдём полное сопротивление

U

Z

Z =

220

;

Z =

; Z = 36,7 Ом .

I пер

6

Индуктивность катушки

√

.

[L] = Ом

= B c = Вб = Гн.

L =

Z2−R2

√

2 π ν

Гц

A

A

L =

36,72−222

= 0,094;

L = 94 мГн.

2 3,14 50

волны х и разности фаз колебаний δ:

δ = (2 π/λ)

x .

Длина волны λ=

2π x

.

λ=

2 3,14 0,050 4

;

λ = 0,40 м.

δ

3,14

Уравнение колебаний какой-либо точки среды с фиксированной

координатой х0 можно записать в виде

x

ξ = A cos(ωt−ω

0

),

υ

где ω x0/υ = φ0 – фаза в момент времени t0 = 0.

d ξ

Скорость смещения частиц υ* – есть производная

υ =

:

dt

υ =− Aω sin (ωt−φ0).

Так как максимальное

значение

синуса равно

единице, то

частота колебаний частиц среды;

υ* =

2,0 10−3

2 π

;

υ* =1,3 м/с.

−3

10 10

Фазовая скорость волны υ =

λ

;

υ =

0,40

;

υ = 40 м/с.

Т

10 10−3