Материал: 2039

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

λ = ? ν = ?				Решение. Запишем уравнение стоячей волны в общем
υ = 0,080 м/с				виде	ξ=2 A cos	2 ω x	cosωt , где А – постоянная вели-
ω = 2,4π·10	3	с	-1			υ
				чина;	ω – угловая частота колебаний, ω = 2πν,

ν – частота; υ – фазовая скорость волны. Сопоставив общий вид с заданным уравнением, найдём угловую частоту и фазовую скорость

π	=	ω	и 2,4 10			3	π = ω	=> ω = 2,4π·103;
		υ
0,080
υ =		0,080ω		=	0,080 2,4 103 π				= 192.
			π				π

Угловая частота ω = 2,4π·103 с-1; фазовая скорость υ = 1,9·102 м/с.

Так как ω = 2πν, то частота колебаний ν =						ω	.	ν = 1,2·103 Гц.

				1,92 102		2 π
Длина волны	λ=	υ	. λ=		=0,16.	λ = 0,16 м = 16 см.

		ν		1,2 103

Свойства электромагнитных волн. Поляризация

Пример 12. На границу раздела «лёд – вода» падает электро-

магнитное излучение частотой ν = 4.52∙1014 Гц. Найти: а) скорости υл и υв электромагнитных волн в первой и второй средах соответственно; б) длины волн λл и λв; в) угол αБ падения данной волны на границу радела, при котором отражённая волна будет полностью поляризована.

υл

= ? υ

= ?;

Решение. Показатель преломления вещества

λл=? λв=? αБ= ?

показывает,

во

сколько

раз

скорость

nл = 1,31

электромагнитной волны в веще-стве меньше, чем в

nв = 1,33

вакууме,

n = c/υ.

Значения nл = 1,31 и nв = 1,33 для

с =3,00·108 м/с

льда и воды найдём в таблице (прил. 6) и вычислим

соответствующие скорости

υл =

; υл =

3,00 108 м/с

= 2,288 108 м/с ≈ 229 Мм/с ;

nл

1,31

υв =

;

υв

= 3,00 108 м/с

= 2,254 108 м/с ;

υв = 225 Мм/с.

nв

1,33

λ = υ/ν , где

Используя взаимосвязь длины волны λ и частоты ν,

ν = const в данном случае, находим длины волн:

λл =

υл

и λв =

υв

;

λл = 2,29 108

;

λл = 506 нм

λв = 2,25 108

;

λв = 499нм .

4,52 1014

Условие полной поляризации отражённой волны (и максимальной поляризации проходящей волны) определено законом Брюстера

tgαБ = n2−1 ,

где αБ – угол падения (угол Брюстера); n2−1 – относительный показатель преломления, в данном случае равный показателю

преломления воды относительно льда, n2−1= nв--л =				υл	=	nв	.
преломления воды относительно льда, n2−1= nв--л =				υв	=		.
	1,33			υв		nл
nв-л =	1,33	= 1,015; αБ = arctg1,015 = 45,43° ;	αБ = 0,793 рад.
	1,31

Пример 13. Найти амплитуду магнитной составляющей Bm

радиоволны в воздухе и в бензине при одинаковой плотности среднего потока электромагнитной энергии J = 40 мкВт/м2.

Вm1=? Вm2=?

J = 40·10-6 Вт /м2 υ1= с = 3,0·108 м/с

μ1 = μ2 =1

n2 = 1; n2 = 1,40

ε0 = 8,85·10-12 Ф/м μ0 = 4π·10-7 Гн/м

	Решение.	Из уравнений			Максвелла следует:
	и	S = υ w	эл.м	, где		– вектор Пойн-
S	=E×H		эл.м		S

тинга (плотность потока энергии электромагнитной волны); E и Н – напряжённости электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля; wэл.м – суммарная объёмная плотность энергий

электрического и магнитного полей.

wэл.м = wэл + wм = 12 εε0 E2 + 2μμ1 0 B2 .

Интенсивность волны, или средняя плотность потока энергии

J эл.м=S =υwэл.м .

Если считать волну гармонической функцией времени и учесть

E H и H B , то wэл.м =½(½εε0 E2m + ½ B2m /(μμ0)), где Em и

Hm – амплитуды напряжённостей электрического и магнитного полей; Hm = Вm/(μμ0); ε – диэлектрическая проницаемость; μ – магнитная

проницаемость среды; ε0 и μ0

–

электрическая и

магнитная

постоянные.

Взаимопревращение магнитного и электрического полей

подчи-

няется закону сохранения энергии:

½ εε E2 = ½ B2 /(2μμ

). Тогда

J эл.м =

υ Bm2

2μμ0

эл.м

Проверка решения по наименованию единиц:

Тл

Гн c Вт B c2 B A

B2 c2

; Тл

B c

Bб

Тл м2

= Тл.

= м м м2 =

м2

= м4

= м2

= м2 =

м2

A м2

φ*=? φ**=?

Jест/J = 4

Кпол = 0,8 К ан = 0,8

Амплитуда магнитной составляющей данной электромагнитной

√

υ1

волны в воздухе Bm 1=

2μ1μ0

J эл.м ;

Bm1 = 5,8·10-2 Тл = 58 мТл.

Скорость волны в бензине υ2=

=2,14 10

м/с, а амплитуда

магнитной индукции Bm2=√

. Bm2 = 6,9·10-2 Тл = 69 мТл.

2μ2μ0 J эл.м / υ2

Пример 14. Два поляроида (поляризатор и анализатор)

сориентированы так, что интенсивность проходящего через них света максимальна. На какой угол φ* нужно повернуть анализатор относительно своего начального положения вокруг оси, проходящей через луч (ось Y на рис. 35), чтобы света на выходе стала в 4 раза меньше интенсивности естественного света? Каким будет угол поворота φ** анализатора, если учесть, что каждый из поляроидов дополнительно поглощает 20 % падающего на него излучения?

Решение. Используем закон Малюса J =J o cos2 φ ,

где J0 и J – интенсивности света, падающего на анализатор и прошедшего через него; φ – угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора.

Идеальный поляроид уменьшает в два раза интенсивность

падающего на него неполяризованного излучения: J 0= ½ J ест . Тогда
Z	Z		J = ½ J		cos2	φ.
		φ			ест
Jест	J0		Так как по	условию		J / J ест = ¼,	то
		J
			cos2 φ* = 0,5;	cosφ=0,707; φ = 45°.
Х	X	Y
			Для четырёхкратного ослабления естес-

	Рис. 35		твенного света в случае идеальных поля-
			роидов нужно повернуть анализатор на 45°.

Если учесть дополнительное поглощение света в обоих поляроидах, то интенсивность света, выходящего из анализатора

J = Kпол K ан (½ J ест )cos2 φ**,

где Кпол и Кан – коэффициенты пропускания поляризатора и анализатора, соответственно; К =1 – k; k – коэффициент поглощения (k = 0,2); Jест – интенсивность света, падающего на поляризатор.

J / J ест = ½ K пол K ан cos2 φ**,

¼=½ 0,8 0,8 cos2 φ**; cos2 φ** = 0,78; cos φ** = 0,781; φ** = 39°.

Если в каждом поляроиде дополнительно поглощается 20 % падающего на него излучения, то для ослабления естественного света в 4 раза достаточно повернуть анализатор относительно положения максимального пропускания на угол φ** = 39° (φ** < φ*).

Интерференция

Пример 15. Пространство между линзой и пластинкой в

приборе “Кольца Ньютона” заполнено жидкостью с показателем преломления меньшим, чем у стекла. Радиус пятого красного (λ0 = 690 нм) интерференционного кольца в отражённом свете r3 = 1,1 мм. Радиус кривизны линзы R = 0,50 м. Определить показатель преломления жидкости.


n =?	Решение. Волны, возникающие в результате отражения
n =?	от границы “линза-жидкость” (рис. 36) и от границы
λ0 = 690·10-9 м	от границы “линза-жидкость” (рис. 36) и от границы
r3 = 4,0·10-4 м	“жидкость-стекло”,			когерентны.		Накладываясь,		они
r5 = 8,2·10-4 м	дают интерференционную картину в виде колец. При
R = 0,50 м	отражении от границы “жидкость-стекло” фаза волны
меняется на π рад, так как по условию показатель преломления стекла
больше, чем жидкости. Оптические длины пути от места разделения
волн (на первой границе) до места соединения отражённых волн (на
той же границе		“линза-жидкость”): L1 =			0;	О●			1
L2=d n+ λ0/2,		где d – расстояние между лин-						▼	2
зой и пластиной; n – показатель преломления
жидкости; λ0 – длина волны в вакууме.						A	r B
Разность хода			= 2 d n + λ0 /2 .			n
= L2 – L1;			= 2 d n + λ0 /2 .		(1)	К		М
Картина имеет вид колец, так как						Рис. 36
геометрическое место точек на поверхности
линзы, где толщина слоя жидкости d между линзой и пластинкой
одинакова, представляет собой окружность.

В прямоугольном треугольнике ОАВ катет AB равен радиусу интерференционного кольца r ; ОВ = OK = R – радиус линзы; АК = d; ОА = R − d. По теореме Пифагора R2= r2 +(R−d)2 .

Так как d << R, то r2 =2 d R и	d =	r2	,	или
		2 R

где m = 1, 2, 3, … номер кольца.

d m = 2 mR , (2)

Объединяя уравнение (2) с уравнением (1) и с условием интерференционного максимума = m∙λ, получим

φнаиб = ?

λ = 530·10-9 м d = 1,5·10-6 м

2 d n + λ		= m λ		и	rm2	n +	λ0	= m λ	.
			0
m	2				R		2	0

Радиусы светлых колец в отражённом свете	rm=	√	R(2 m−1)	λ0		,

			n		2

где m = 1, 2, 3, … ; n – показатель преломления жидкости между пластинкой и линзой; λ0 – длина световой волны в вакууме.

Показатель преломления n =		R (2 m−1) λ0		.

		2 rm2
n =	0,50 (2 5−1) 690 10−9		= 1,3.
	2 1,1	2 10−6

Дифракция

Пример 16. Свет с длиной волны 530 нм падает нормально на

дифракционную решетку с периодом 1,5 мкм. Найти угол дифракции, под которым наблюдается максимум наибольшего порядка.

Решение. Углы, под которыми наблюдаются главные максимумы при дифракции на решётке, удовлетворяют условию d sinφ = m λ , где d – период решётки; φ –

угол между первоначальным направлением света и направлением на максимум m-го порядка (угол дифракции); m = ±1, ±2, ±3, …, считая от центрального максимума, для которого m = 0); λ – длина волны.

Угол дифракции не может быть больше 90°, поэтому sinφ ≤ 1 .

	Выразим		sinφ	из условия		максимумов:			sinφ = m λ/d . Тогда
m λ				d		d			1,5 10−6
d		≤ 1 =>	m ≤		=> mнаиб ≈		.	mнаиб ≈		≈ 2,8.
									530 10−9
				λ		λ

Анализируя полученный результат, следует учесть два обстоятельства: 1) число m может быть только целым; 2) округление в большую сторону противоречит условию: m ≤ d /λ . Из этих соображений номер максимума наибольшего порядка получается округлением в меньшую сторону: mнаиб = 2. Соответствующий угол дифракции найдём, используя условие главных максимумов

d sin φ		=m		λ	=> sinφ	наиб	= m		λ	=> sin φнаиб = 0,707.

	наиб		наиб					наиб	d

Ответ. Угол дифракции, под которым наблюдается максимум наибольшего порядка, φнаиб = 45°.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)