Материал: 2039
Задание 15. Индуктивность. Энергия магнитного поля
1. При какой силе тока в прямолинейном проводе бесконечной длины на расстоянии r = 50 мм от него объёмная плотность энергии магнитного поля будет равна 2,0 мДж/м3? Если провод согнуть под прямым углом, то какой ток нужно пропустить, чтобы плотность энергии в точке, расположенной на том же расстоянии ℓ = r от обеих ветвей проводника, осталась той же?
2.Соленоид имеет длину 60 см и сечение 10 см². При некоторой силе тока, протекающей по обмотке, в соленоиде создается магнитный поток 100 мкВб. Вычислить энергию магнитного поля соленоида.
3.Сила тока в соленоиде, подключаемом к источнику постоянного тока, возрастает от нуля до 10 А за 20 мкс. При этом создаётся ЭДС самоиндукции, среднее значение которой 150 В. Какова индуктивность соленоида?
4.Определить число витков катушки индуктивностью 0,50 мГн.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Катушка намотана в один слой на немагнитный |
|||
|
I |
|
каркас длиной 60 см и диаметром 2,0 см. |
|
|||||||||||||||||||||
мА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Зависимость |
силы тока |
в катушке |
индуктив- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ностью 0,2 Гн |
показана на |
диаграмме |
(рис. 29). |
||
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить ЭДС, индуцируемую в катушке. |
|||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Ток, протекающий через катушку индуктивности |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 0,02 Гн, изменяется по закону I = 0,5sin314t, где |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
10 t, мc |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 29 |
I – сила тока, А; t – время, с. Построить график |
|||||||||||||||||
зависимости ЭДС индукции (t), возникающей в катушке, от времени
винтервале 0 ≤ t ≤ 0,02 с.
7.Индукция магнитного поля внутри соленоида при силе тока в обмотке I = 2 А составляет В = 10 мТл. площадь сечения соленоида
S = 5 см²; число витков катушки N = 1200 витков. Какова индуктивность соленоида?
8. Сила тока в катушке индуктивностью 0,25 Гн изменяется по закону I = 2,0 – 40t2, где I – сила тока, А; t – время, с. Изобразить графически зависимость ЭДС самоиндукции в катушке от времени и оценить среднее значение ЭДС в интервале от 0 до 0,2 с.
9. Обмотка из 500 витков тонкого провода имеет вид кольца радиусом 20 см. Сила в проводнике равна 1 А. Оценить объёмную плотность энергии магнитного поля в центре кольца.
85
10. Короткая катушка с током 1 А растягивается в спираль так, что индуктивность равномерно уменьшается от 10 до 2 мГн в течение 0,5 с. Определить ЭДС самоиндукции в катушке, считая, что сила тока в катушке поддерживается постоянной.
3. Колебания и волны
Кинематика гармонических колебаний
Пример 1. Уравнение движения материальной точки имеет
вид х = 4 sin(10πt), где х – смещение точки, см; t – время, с. Найти моменты времени, ближайшие к началу отсчёта, но не равные нулю, в которые достигаются максимальные значения модуля скорости и модуля ускорения. Показать соответствующие точки на графиках υx(t) и ax(t).
t*=? t**=? |
Решение. Дифференцируя уравнение х(t), найдём |
||||||||
υ(t)=? а(t)=? скорость и ускорение: |
υx, ax |
|
υx(t) ax(t) |
||||||
А = 4·10-2 м |
|
dxx |
|
|
|
t**=¼Т |
|||
ω = 10π c |
-1 |
υx = |
= 0,4 π cos(10 πt ); |
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|||||
φ0 = 0 |
|
|
|
|
|
0 A B C D |
|||
υ* = υm |
|
ax = |
d υx |
=−4 π |
2 |
sin (10 π t ), |
|||
a** = am |
|
dt |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где υх – проекция скорости данной точки на ось |
|
t* =½T |
|||||||
Х, м/с; t – время, с; ах – проекция ускорения на |
|
Рис. 30 |
|||||||
ось Х, м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На рис. 30 сплошной линией показан график скорости |
υx (t), а |
||||||||
штриховой линией – график ускорения аx (t). |
Экстремумы функции |
||||||||
υx (t) достигаются в те моменты времени, когда косинус приобретает наибольшие по модулю значения:
cos(10 πt )=±1 => 10π t =±n π => t = ± 0,1n, где t – время, с; n – целое число, n = 0, 1, 2, … .
Отбрасывая отрицательные значения t и учитывая, что t* ≠ 0 (по условию), получаем t = 0,1 c; 0,2 с; 0,3 с; … . Моменты времени, когда модуль скорости достигает максимума, следуют с интервалом 0,1 с.
По известной из условия угловой частоте ω = 10π с-1 найдём период колебаний T = 2ωπ , Т = 0,2 с. Сравнивая с полученными
значениями времени t, видим, что максимумы модуля скорости следуют через половину периода.
86
На оси t диаграммы (рис. 30) отмечен ближайший к началу отсчёта момент времени, когда модуль скорости |υх| достигает максимума, t* = 0,1 с, то есть t* = ½T .
Аналогично находим, что максимумы величины |ах| достигаются также через половину периода, в те моменты времени, когда выполняется условие
sin(10 πt ) =±1 => 10 π t = (2 n+1)π/2 ,
где t – время, с; n = 0, 1, 2, … .
t = (2 n +1)/20; t = 0,05; 0,15; 0,25; … с.
Ближайший к началу отсчёта момент времени t**, когда модуль ускорения достигает максимума, t** = 0,05 с, или t** = ¼T.
Пример 2. Колебания |
в |
контуре совершаются по закону |
u = 50∙cos104πt, где |
u |
– напряжение на обкладках кон- |
денсатора колебательного контура, В; t – время, с. Электроёмкость конденсатора С = 0,10 мкФ. Найти закон изменения силы тока в цепи i(t) и амплитуду силы тока.
i(t) =? I |
m=? |
Решение. По определению электроёмкость конден- |
|||
сатора равна отношению заряда q к напряжению u на |
|||||
Um = 50 В |
|||||
ω = π·104 c-1 |
его обкладках: С = |
q |
=> q = C u . |
||
|
|||||
φ0 = 0 |
|
u |
|||
С = 0,10·10-6 Ф |
Заряд конденсатора изменяется по закону |
||||
|
|
||||
q =C U m cosω t , или q = 0,10 10−6 50cos104 π t , где q – заряд, Кл; Um – амплитуда напряжения, В; t – время, с.
Сила тока в контуре равна производной заряда по времени:
i = dq ; |
i =−5 10−6 104 π sin 104 πt , |
dt |
|
где i – сила тока, А; t – время, с.
Ток достигает наибольшей (по модулю) силы, когда значение синуса равно ±1. Анализируя полученную функцию i(t), находим амплитудное значение силы тока I m= 0,05π A = 0,16 A.
Ответы. Закон изменения силы тока
i =−0,05π sin104 πt , где i – сила тока, А; t – время, с.
Амплитуда силы тока Im = 0,16 A.
87
Сложение колебаний
Пример 3. На вход Y осциллографа подано электрическое нап-
ряжение uy = 3cos10πt, а на вход X – ux = 4cos(10πt + π/2), где uy и ux – напряжения, В; t – время, с. Смещения электронного луча на экране: у = kyuy и х = kxux, где у и х – отклонения луча по вертикали и по горизонтали, см; ky = kx. = 2 см/В – кооэффициенты пропорциональности между напряжением и смещением луча. Зарисовать траекторию луча с соблюдением масштаба.
Решение. Запишем уравнения колебаний луча в виде |
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
π |
x |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 3 = sin(10 π t + 2 ); |
2 4 |
=cos(10 π t |
+ 2 ). |
|
|
|
|
||||||||
Возведём оба уравнения в квадрат и сложим их: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y2 |
+ x2 |
=sin2 (10π t + |
π )+cos2 |
(10πt + |
π ). |
|
|
|
|
|
|||||
|
62 |
82 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
||
В результате получим уравнение эллипса |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
2 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
4- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2- |
|
|
|
||||
полуоси |
|
62 |
|
82 |
вертикали |
и |
8 |
6 |
4 |
2 |
2 |
4 |
6 |
|||
которого |
|
|
по |
по |
|
|
–2- |
|
|
|
||||||
горизонтали равны 6 и 8 см, соответственно. |
|
|
–4- |
|
|
|
||||||||||
|
|
–6- |
|
|
|
|||||||||||
Траектория луча показана на рис. 31. |
|
|
|
Рис. 31 |
|
|
||||||||||
Пример 4. Складываются два гармонических колебания
одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуды колебаний: А1 = 2,0 см и А2 = 3,0 см; начальные фазы φ01= π/2 и φ02= π/3. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать его уравнение и построить векторную диаграмму амплитуд.
A =? |
φ0 |
=? ω=? |
|
Первый способ решения (аналитический). |
||
А1 |
= А2 = 0,02 м |
Для вычисления амплитуды и начальной фазы |
||||
Т1 |
= Т2 |
|||||
результирующего колебания используем формулы, |
||||||
φ01= π/2 рад |
||||||
приведённые на с. 27 : |
||||||
φ02 |
= π/3 рад |
|||||
A2= A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(φ02−φ01) и |
||||||
|
|
|
|
|
||
tgφ0= A1 sin φ01 + A2 sin φ02 .
A1 cosφ01 + A2 cosφ02 Подставляя числовые значения, получим
A2= 2,02 +3,02 + 2 2,0 3,0 cos(π/2−π/3); A= 4,8 см.
88
tgφ0= |
2 1 +3 0,866 |
= |
3,07; |
φ0 = 72 |
o |
= 1,3 рад. |
|
|
|
||||||
|
0 +3 0,5 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Второй способ |
решения |
(графический). В прямоугольной |
|||||
системе X0Y с помощью линейки и транспортира строим векторную диаграмму (рис. 32). Из начала координат под углом 90° к оси Х
проведём вектор A1 – направленный отрезок, длина которого в выбранном масштабе соответствует модулю вектора. Из той же точки
y |
|
|
|
|
в том же масштабе строим вектор |
|
под углом 60° к |
|
|
|
|
A |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
оси Х. Складывая векторы по правилу параллело- |
||
|
|
|
|
|
|
грамма, получаем вектор амплитуды A результи- |
||
A1 |
|
|
φ |
|
|
рующего колебания. Модуль вектора |
A равен длине |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
диагонали с учётом масштаба. Измерив угол между |
|||
|
|
|
φ02 |
|
|
|||
|
|
φ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
01 |
|
|
вектором A и осью Х, найдём начальную фазу φ0 |
||
|
|
Рис. 32 |
|
|
результирующего колебания. |
|
|
|
Гармонические осцилляторы
Пример 5. Однородный диск радиуса R подвешивают двумя
различными способами. В первом случае ось, относительно которой могут совершаться колебания, проходит через образующую диска перпендикулярно его плоской поверхности; во втором – параллельно оси симметрии диска на расстоянии R/2 от неё. Доказать, что периоды колебаний физического
маятника, получаемого такими способами, одинаковы в том и другом случае.
|
Т |
2/Т1= ? |
Решение. Период физического маятника T =2 π |
|
|
J |
, |
|
d2 |
√mgd |
|||||
|
= R/2 |
|
|
||||
|
d1 |
= R |
где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей |
||||
г |
|
||||||
через точку подвеса; m – масса тела; g – ускорение свободного падения; d – расcтояние от точки подвеса до центра тяжести. По
теореме Штейнера J =J C + md2 , где JC = ½ mR2 – момент инерции
диска относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости диска. Таким образом, период колебаний исследуемого маятника
T =2 π √½ mR2 + md 2 . mgd
89