Материал: 2039

T =2 π r / υ,

(1)

0

r – радиус вращения (удаление грузика от оси

Y

an

вращения в горизонтальном направлении).

α

T

Сила тяжести mg и сила упругости нити Т

h

(см. рис. 3) сообщают грузику нормальное

r

ускорение an = υ2 /r .

X

Второй закон Ньютона

F = m a приводит

mg

Проецируя векторы

к уравнению mg + T = m a.

на координатные оси Х

и

Y, получим два

Рис. 3

уравнения:

T sin α = man ;

(2)

T cosα = m g ,

(3)

где α – угол между осью вращения и нитью.

Деление (2) на (3) даёт: tg α =υ2 /(rg). С

другой стороны,

r

υ2

r

υ = r √

g

tg α =

, как видно из рисунка. Тогда

=

и

.

h

r g

h

h

Подставляя в (1) выражение скорости, найдём период обращения

h

2,3

T = 2 π √

;

T = 6,28

√

;

T = 3,0 c.

g

9,81

А =? ℓ =?

Решение. Начальная скорость вагона υ0 = 0; конечная

υm= ? t* = ?

скорость, когда x = ℓ, также равна нулю; начальное

a0x = 5 м/с2

m = 5,0·103 кг

ускорение а0х = 5 м/с2. Ускорение изменяется по

da

1

закону aх = a0 – kх, где k = 0,05 с–2. График функции

k= dх

=0,05

ах(х)

представляет

собой

прямую

линию,

c2

ах

Согласно

теореме

об

изменении

кинетической

а0

энергии работа равнодействующей силы (или работа

0

½ℓ

ℓ

х

всех сил, действующих

на

тело) равна

изменению

Рис. 4

кинетической

энергии

тела,

т. е. A =

K. В данном

случае как ускорение, так и равнодействующая сила,

F = m a,

–

величины переменные,

поэтому

следует

применять

дифференциальную форму теоремы

Так

как

δA=F ds , где

δA = dK,

в

данном

случае,

(1)

(| ds|=dx)

то правая

часть уравнения (1):

δ A=m ax dx .

Учитывая закон изменения ускорения aх = a0 – kх и интегрируя по

всему пути (от 0 до l), получим

K2

l

∫m(a0−k x) dx=∫dK =>

0

k l2

K1

=> m(a l−

)=K

2

−K

1

.

0

2

мало.)

k l2

2 a0

2 5

Так как m ≠ 0, то

a0 l−

=0.

l=

;

l=

; l=200 м.

0,05

2

k

Тот же результат получается, если выразить скорость как

производную пути

по времени, а

ускорение

–

как

производную

скорости по времени:

υx =

dx

; ax =

d υx

.

dt

dt

d υx

Тогда ax =

dx

=>

ax dx =υx d υx .

dt

dx

Учитывая выражение aх = a0 – kх и интегрируя, получим

a l−

k l2

=0

=> l =

2 a0

.

0

2

k

l / 2

K m

l

k (l /2)

2

∫ m(a0−k x) dx =∫ dK => m(a0

−

) = K m.

o

0

2

2

Максимальная кинетическая энергия Km = 7,5·105 Дж.

√

√

K = m υ2 ,

2 7,5 105

2 K m

=√

.

Так как

то

υ =

;

υm =

500

5 103

2

m

m

υm = 22 м/с .

Максимальная скорость вагона

Время разгона оценим

из уравнения

υm =

<a>·t*, где <a> –

а(s), найдём среднее значение

а как

полусумму начального и

конечного значений:

а =

(a0 +0)

=

a0

,

а = 2,5 м/с2 .

2

2

υm

t*= √

;

Тогда t *=

;

500

t* ≈ 8,9 с.

a

2,5

s =

a t *2

;

s* =

2,5 (500/6,25)

=100.

2

2

А = ?

Решение. Элементарная работа равна по определению

F = 20υ2

или

δ A = F ds cosα,

s = 3,0t2

δ A = F ds,

t0 = 0

где α – угол между векторами силы и перемещения.

∫

F ds.

работа силы сопротивления A = −

10

t4

10

3

4

Тогда A = −∫4320t

dt ;

A = −4320

= –1080·10 .

4

0

0

действием силы F = 2 t i + 3 t

j , где F – сила, Н; t – время, с;

i , j

2

зависимость

мощности от

– орты осей x,

y. Найти

времени N(t) и значение мощности N* в момент t* = 1 c.

N(t) = ?

Решение. По определению

N =

δ A , где N – мощность;

N* = ?

dt

m = 10 кг

– элементарная работа; ds – перемещение под

Fx = 2t2

δ A = F ds

Fy = 3t

действием силы F. Отсюда следует:

ds

и

t* = 1 с

N =F dt

N =F υ.

Применяя второй закон Ньютона a=

F

,

найдём ускорение

2t

3t 2

m

a

= m

i

+ m

j .

Интегрируя, получим скорость

t2

t3

υ = m i + m j и, подставив это

найдём мощность

выражение в формулу N = F υ,

2

t2

t3

N = (2t i +3t j) ( m i

+ m j).

Учитывая известные

соотношения

i i =1 и i j =0, получим

выражение зависимости мощности от времени

N = (2t3 +3t5)/m и её

значение в момент t* = 1 c

N * = (2 13 +3 15)/10;

N* = 0,5 Вт.

υ

1

=? υ

2

=? К=?

Решение. Полагая, что движение происходит в

υ01= υ02 = 2 м/с

горизонтальной плоскости, направим координатную

m1=m2=m=400 кг

ось Х

инерциальной системы отсчёта,

связанной с

mгр=100 кг

Землёй,

вдоль вектора скорости первой

платформы

p

= const .

импульса

p = const .

=>

сист x

сист

px пл1 + px гр = const;

(1)

px пл2 + px гр = const.

(2)

Внутренние силы в системе “платформа1 – груз” в

процессе

Y

υ01

Y

υ1

m

mгр

m

0

ИСО

Х

0

Х

υ02

m

υ

m

mгр

2

a)

Рис. 5

б)

Из уравнения (1) следует:

(m + mгр) υ01 = m υx 1 + mгр υ01 ;

υx 1 =

(m + mгр) υ01−mгр υ01

,

m