Материал: 2039

Учитывая, что проекция скорости груза в процессе переброски остаётся равной υ01 вплоть до соприкосновения груза со второй платформой, из уравнения (2) получим

где υ02 и υ2 – скорости второй платформы до и после неупругого взаимодействия с грузом.

сторону противоположную оси Х, на что указывает знак проекции вектора υ2 на ось Х.

Проверим сохранение импульса для двух платформ и груза:

(m + mгр) υ01− m υ02 = m υ1−(m + mгр) υ2 ,

(400 +100) 2− 400 2 = 400 2,0−(400 + 100) 1,2; => 200 = 200. Изменение кинетической энергии данной системы тел

Знак “ – “ величины К означает, что в результате неупругого удара груза и второй платформ кинетическая энергия системы уменьшилась. Потенциальная энергия не изменилась, так как движение происходит в горизонтальной плоскости. Следовательно, часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию.

Пример 8. Два груза m1 = m2 = 0,50 кг связаны нитью длиной l = 36 см и надеты на стержень массой mст = 1,0 кг. Длина стержня lст = 60 см. Размерами грузов можно пренебречь. Ось вращения проходит перпендикулярно стержню через его середину (рис. 6). Когда система раскручивается вокруг оси до угловой скорости ω0 = 20 рад/с, нить разрывается и грузы перемещаются без трения на концы стержня. Считая, что действие внешних моментов сил с момента разрыва нити прекращается, найти конечную угловую скорость системы.

50

каждого из грузов относительно данной оси (см. рис. 5) выражаются

Ответ. Конечная угловая скорость ω2 = 10 рад/с.

Пример 9. На внешней поверхности барабана (рис. 7) закреп-

лён конец лёгкого троса. Другой конец троса с привязанным к нему грузом 50 кг лежит на земле. Момент инерции барабана 10 кг∙м2, его радиус 50 см. Барабан, поднятый на некоторую высоту, раскручивают относительно неподвижной оси и прекращают внешнее воздействие, когда трос натягивается, а угловая скорость достигает 10 рад/с. Определить максимальную высоту, на которую поднимется груз.

барабана в начале подъёма груза и П1 – потенциальная энергия груза на поверхности земли (П1 = 0); К2 = 0 (в конце подъёма) и П2 = mgh2.

51

Cпособ 2. Согласно теореме об изменении кинетической энергии

A = K,

где в данном случае А – суммарная работа внешних сил, действующих на систему барабан – груз, A = F s cosα; F = mg – сила тяжести;

s = h2; cos α = – 1.

Так как кинетическая энергия груза за время подъёма не изменилась (0 – 0 = 0), то изменение кинетической энергии данной

света в вакууме. Определить скорость υ1–2 и кинетическую энергию К1-2 одной из частиц в системе отсчёта, связанной с другой движущейся частицей.

Решение. Скорости электронов близки к скорости света и по модулю одинаковы: υ1 = υ2 = υ. Для расчёта скорости одной частицы относительно другой (υ1-2 = υотн) используем формулу (33) настоящего

полная энергия; Е0 = mc2 – энергия покоя; υ = υотн − скорость частицы в выбранной системе отсчёта; m − масса частицы (инвариант).

Кинетическая энергия электрона в данной системе отсчёта

K = E0 [ √1 1 c 2 − 1], − (υотн/ )

где υотн = 0,976с (получено выше)); Е0 = 0,511 МэВ – энергия покоя электрона (см. прил. 6).

К = 3,59Е0; К = 1,8 МэВ.

52

Задание 1. Кинематика материальной точки

1. Диск вращается вокруг своей оси согласно уравнению φ = 4 – 2t + 0,2t3, где φ – угол поворота, рад; t – время, с. Определить тангенциальное и нормальное ускорения точек диска на расстоянии 20 см от оси вращения через 3,0 с после начала отсчёта времени.

2.Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону υ =(1,0t² ) i , где υ – скорость, м/с; t –

время, с; i – единичный вектор. Найти зависимость ускорения от времени aх(t) и вычислить путь за первые 10 секунд движения.

3.Скорость прямолинейного движения тела изменяется по закону

υ= 0,50s2, где υ – скорость, м/с; s – пройденный путь, м. Найти ускорение в момент, когда скорость достигнет значения 2,0 м/с.

4.Движение материальной точки задано уравнениями х = 5,0t и y = 20 – 4,9t2, где х и y – координаты, м; t – время, с. Записать уравнение траектории точки и найти скорость и ускорение в момент времени t* = 1,0 c.

5. Скорость движения тела задана уравнением = (– t2 +16) i ,

где υ – скорость, м/с; t – время, с; i – единичный вектор. Найти начальную и конечную скорости тела в интервале времени от 0 до 3 с, а также перемещение тела за это время.

6.Мотоцикл разгоняется за 4 с до 209 км/ч. Скорость нарастает по

закону υ = k √t . Какое расстояние преодолевается за время разгона?

7.Какова средняя скорость тела в интервале от 0 до 6 с, если мгновенная скорость определяется уравнением υ = 20 + 4t + 3t², где υ – скорость, м/c; t – время, с?

8.Радиус-вектор материальной точки изменяется во времени по

9.Подъёмный кран, передвигаясь по горизонтальным рельсам со скоростью 0,5 м/с, одновременно поднимает груз вверх со скоростью 6 м/мин. Какова скорость груза относительно Земли?

10.Материальная точка движется по окружности радиуса R = 0,5 м против часовой стрелки согласно закону s = 2t, где s – пройденный путь; t – время движения, с. Записать уравнения движения x(t) и у(t),

учитывая начальные условия: x0 = 0,5 м; y0 = 0 при t0 = 0, и вычислить тангенциальное и нормальное ускорения точки в момент t* = 2 c.

53

Задание 2. Силы в механике. Законы Ньютона. Закон сохранения импульса

1.Груз массой 1,0 т, поднятый на тросе длиной 5 м, раскачался под действием ветра. В момент прохождения грузом нижней точки траектории скорость груза равна 1 м/с. Рассчитать силу натяжения троса.

2.Платформа массой 120 кг стоит на рельсах. Человек массой 80 кг прыгает с неё в горизонтальном направлении под углом 60° к рельсам со скоростью 2 м/с относительно Земли. Какой будет скорость платформы после того, как человек спрыгнет с неё?

3.Материальная точка масой 0,2 кг начинает двигаться под действием переменной силы F = 3t² , где F – сила, Н; t – время, с. Найти скорость точки в конце второй секунды движения.

4. Коленчатый вал автомобильного двигателя раскручен до 5000 об/мин. Скорость поршня при этом достигает 21,5 м/с. Найти среднее ускорение поршня. Оценить силу, обеспечивающую это ускорение, при массе поршня около 0,5 кг. Во сколько раз эта сила больше силы тяжести поршня?

5.Прямолинейное движение тела описывается законом s = 5t + 2t2,

где s – пройденный путь, м; t – время движения, с. Масса тела m = 10 кг. Найти силу F (в ньютонах), действующую на тело.

6.На всём пути экстренного торможения автомобиля массой 1500 кг действует сила трения, равная 17 кН. Какой может быть скорость машины, чтобы расстояние 10 м оказалось достаточным для её полной остановки?

7.Две платформы собственной массой по 400 кг катятся по инерции

платформ после того, как груз будет переброшен с одной на другую.

8.Автомобиль начинает двигаться по закруглению горизонтальной дороги радиусом R = 40 м с постоянным тангенциальным ускорением

aτ = 5,0 м/с2. Коэффициент трения между колесами машины и дорожным покрытием μ = 0,30. Какой путь пройдёт автомобиль без заноса?

9.Моторная лодка массой 200 кг приближается к причалу со скоростью 5 м/с. Сила сопротивления движению изменяется по закону

Fc = 100υ, где Fc – сила сопротивления, Н; υ – скорость, м/с. На каком расстоянии от причала надо остановить двигатель, чтобы причалить с безопасной для лодки скоростью (υ ≈ 0)?

54