Материал: 1929

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Матрицы планирования ПФЭ 22, 23 и 24

Таблица 13

Номер

Факторы

Параметр

опыта

-1

ПФЭ 22

-1

ПФЭ 23

-1

Y10

-1

Y11

бА

Y12

-1

Y13

-1

Y14

ПФЭ 24

Y15

-1

Y16

Фактор x0 – фиктивный и введен для удобства определения сво-

бодного члена полинома b0. Значение фактора x0

всегда равно +1.

Матрицы ПФЭ о ладают рядом свойств, позволяющих проверить

правильность их составления.

Свойство симметричности

– каждый фактор в матрице на

верхнем уровне встречается столько же раз, сколько и на нижнем

[1, 5, 6]:

xiu

(28)

u 1

где u – номер опыта; n – количество опытов, n=2k.

Свойство нормировки – каждый фактор в матрице встречается

только на уровнях -1 и +1 [1, 5, 6]:

xiu2 n.

(29)

u 1

Свойство ортогональности – сумма почленных произведений

двух любых столбцов равна нулю [1]:

xju

xiu

(30)

u 1

Свойство ротабельности – точки в матрице выбираются так, что точностьпредсказания параметра одинакова во всех направлениях.

15.4. Дробный факторный эксперимент

увеличением числа факторов резко возрастает количество опытов ПФЭ. Так при 5 факторах оно равно 32, при 6 – 64 и т.д.

Выполнить такое количество опытов технически сложно. Кроме того, значительно возрастает число степеней свободы при нахождении коэффициентов полинома. Для ПФЭ 25 необходимо найти 6 коэффиц ентов, следовательно, число степеней свободы, т.е. количест-

Существует метод ка уменьшения числа опытов – дробный факторный экспер мент, план которого представляет собой некоторую часть (1/2, 1/4 .д.) плана ПФЭ [1, 5].

во избыточных значен й Yu, составит 32 – 6 = 26.

План ДФЭ стро тся следующим образом. Способом чередования знаков заполняются стол цы не для всех, а только для части факторов. Поскольку в л нейной модели эффекты взаимодействия между

нескольк	не учитываются, уровни оставшихся факто-
факторами
	бА

ров получаются с спользованием некоторых генерирующих соотношений между факторами первой группы [1, 5].

Генерирующее соотношение – произведение факторов, заменяемое в матрице новой независимой переменной. Например, для случая

четырех факторов,	когда факторы х1, х2			и х3 являются свободными,
для получения значений фактора х4			можем использовать такие гене-
рирующие соотношения [1, 4]:		Д

1)	х4=х1∙х2;		5) х4=-х1∙х2;
2)	х4=х1∙х3;		6) х4=-х1∙х3;
3)	х4=х2∙х3;		7) х4=-х2∙х3;
4)	х4=х1∙х2∙х3;		8) х4=-х1∙х2∙х3.
Выбор некоторого генерирующего				соотношения означает, что

при проведении эксперимента мы пренебрегаемИэффектом взаимодействия соответствующих факторов. Так, выбрав вариант 4, мы исключим из анализа эффект взаимодействия трех факторов х1, х2 и х3.

Дробный факторный эксперимент позволяет сократить число опытов, однако теперь оценки коэффициентов не будут раздельными, как в ПФЭ. Как видно из матрицы планирования, оценка коэффициента b4 будет смешана с оценкой b123, который мы исключили из рассмотрения. Однакосмешаннымиоказываютсяидругиекоэффициенты[1,5].

Умножив генерирующее соотношение на фактор, стоящий слева, получим x42 = x1x2x3x4, или, учитывая, что x42 =1, 1= x1x2x3x4.

Это т.н. определяющий контраст – соотношение между факторами, определяющее разрешающую способность матрицы [1, 5].

Разрешающая способность матрицы тем выше, чем выше порядок генерирующего соотношения, поскольку, например, эффект взаимодействия трех факторов обычно меньше, чем двух, и пренеб-

Сдостаточно анал за априорной информации об объекте. Необходимы специальные сследования – отсеивающие эксперименты. Их проводят на начальной стад и до планирования и постановки основного

режение этим эффектом приводит к меньшей ошибке.

15.5. План рование отсеивающих экспериментов

Для разделен я факторов на значимые и незначимые часто не-

экспер мента. План рование отсеивающих экспериментов стремятся свести к м мальному числу опытов [1, 4].

Для	выделен я	факторов используются: метод экс-
значимых
пертных оценок, планы Планкета – Бермана, метод случайного балан-
са, планы	факторного эксперимента [1, 5].
Для отсеивания факторов достаточным является анализ линейной

модели. Число коэффициентов такой модели l=k+1, где k – число фак-
	дробного
торов. В зависимости от соотношения между числом опытов n и оп-
ределяемым числом коэффициентов планы делятся на ненасыщенные
(n > l), насыщенные (n = l) и сверхнасыщенные (n < l).
	А
Для оценки воспроизводимости проводят параллельные опыты
по всем строкам матрицы или, что делается чаще, ограничиваются
опытами в одной точке факторного пространства. Обычно в качестве
таковой принимают		центр плана	(нулевые уровни всех факторов)
[1, 5].			И
Коэффициенты уравнения регрессииДопределяются методом наи-
меньших квадратов.		Значимость	коэффициентов, определяющая

степень значимости соответствующих факторов, оценивается с использованием критерия Стьюдента [1, 5].

Методы оценки воспроизводимости опытов, регрессионного анализа (метод наименьших квадратов) и оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии приведены ниже.

		15.6. Планы второго порядка
	Если описать процессы в объекте
линейным уравнением не удается, то пе-
реходят к планам второго порядка.
	Для получения коэффициентов рег-
рессии в этом случае варьирования фак-
торами на двух уровнях недостаточно.
При небольшом кол честве факторов
можно варь ровать каждый фактор на
трех уровнях – верхнем, нижнем и нуле-
вом.	Полнофакторный			эксперимент			Рис. 17. Положение точек
С					k
							плана второго порядка в
в таком случае о означается как 3 . Од-
нако переход к полному факторному экс-							факторном пространстве:
		на трех уровнях связан с по-					1…4 – точки «ядра»;
становкой			ч сла опытов. Так,				5…8 – «звездные» точки;
для четырех факторов ПФЭ 3				4	тре ует	4	9 – центральная точка
						3
перименту
= 81 опыт, а ПФЭ 35			– 243 [1, 5, 6].
	Бокс	У лсон о основали возможность использования схем, в
которых план типа 2k, используемый в качестве «ядра», дополняется

большого «звездными» точкамиА(по две на каждый фактор), а также нулевой

точкой в центре плана. На рис. 17 показано расположение точек факторного пространства такого плана для двух входных переменных. «Звездные» точки отстоят от центра плана на расстоянии α, называемом «плечом». Оптимальная величина «плеча» зависит от числа свободных факторов. Общее количество опытов с использованием звездных точек составляет n=2k+2k+1 [1, 5].

Пример построения матрицы второго порядка для двухфакторно-

го эксперимента представлен в табл. 14.
		ДТаблица 14
	Данные к построению матриц планов второго порядка
	Количество факторов k	2	3	4	5	4	5
	Количество опытов ПФЭ 3k	9	27	81	243	81	243
	Тип ядра		ПФЭ 2k			ДФЭ 2k-1
				И
	Количество опытов «ядра»	4	8	16	32	8	16
	(2k)	4	8	16	32	8	16
	Общее количество опытов	9	15	25	43	17	27
	(2k+2k+1)	9	15	25	43	17	27
	Величина «плеча» α	1,414	1,682	2,000	2,378	1,682	2,000

						Таблица 15
		Матрица плана второго порядка для трех факторов

	Номер		Факторы			Параметр
	опыта	x0	x1	x2	x3	Параметр
	опыта	x0	x1	x2	x3
	1	+1	+1	-1	-1	Y1
	2	+1	-1	-1	-1	Y2
	3	+1	+1	+1	-1	Y3
	4	+1	-1	+1	-1	Y4
	5	+1	+1	-1	+1	Y5
	6	+1	-1	-1	+1	Y6
	7	+1	+1	+1	+1	Y7
С
	8 +1		-1	+1	+1	Y8
9		+1	-1,682	0	0	Y9
	10	+1	+1,682	0	0	Y10
	11	+1	0	-1,682	0	Y11
	12	+1	0	+1,682	0	Y12
	и
	13 +1 0			0	-1,682	Y13
	14	+1	0	0	+1,682	Y14
	15	+1	0	0	0	Y15

Для k =бА2 количество опытных точек ПФЭ 3k и с использованием «звездных» точек одинаковы. С увеличением числа факторов разница в числе опытов ПФЭ и плана «звездных» точек становится весьма существенной. Наибольшая экономия количества опытов может быть достигнута при использовании вДкачестве ядра дробного факторного эксперимента [1, 5].

15.7. Экстремальный эксперимент

Вточке М функция отклика достигаетИоптимального значения Yопт, которому соответствует сочетание факторов (X1опт, X2опт). Проекции сечений поверхности отклика горизонтальными плоскостями на плоскость Х1ОХ2 образуют линии равного отклика [1, 5, 6].

Вслучае, если удается описать процесс уравнением второго порядка, точку экстремума можно установить, используя методы математического анализа. При значительной нелинейности поверхности

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений