Материал: 1925

Число точек плана в этом случае N = 2n, где n – количество факторов.

Рис. 6.3. Модель однофакторного эксперимента

Модель однофакторного эксперимента представлена на рис. 6.3. Вектор базисных функций имеет вид

Спектр плана полного факторного эксперимента (ПФЭ)

где U – число уровней варьирования факторов; n – количество факторов.

Рассмотрим порядок составления матрицы спектра плана, полагая, что факторы нормированы и, следовательно, могут принимать значения только либо +1, либо –1.

Для составления матрицы спектра плана используется следующее простое правило: в первой строке матрицы все факторы равны –1, в первом столбце знаки единиц меняются поочередно; во втором столбце они чередуются через два; в третьем – через 4; в четвертом – через 8 и т. д. по степеням двойки.

При n = 2 число точек плана N = 22 = 4, а матр ица спектра плана имеет вид

141

так и нелинейную.

Для этой модели система базисных функций очевидна: f0(х) = 1;

f1 (х) = x1; f2(х) = х2; ...; fn(x) = хn. Число базисных функций в этом случае равно n + 1.

Пример. Исследовать процесс нагрева агрегата в зависимости от непрерывной работы.

Цель исследования – определить зависимость износа деталей от скорости и конечной температуры нагрева. Температура

изменяется от 250 до 45 °С, скорость нагрева – от 2 до 10 К/мин. Решение. Кодируем факторы, сводя результаты в табл. 6.1.

142

Примечание. Zi – нормированные значения xi.

Составляем план-матрицу (табл. 6.3). Отметим, что в

Строки в таблице соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. В первом опыте оба фактора находятся на нижнем уровне, во втором опыте фактор x1 – на верхнем, а фактор x2 – на нижнем уровнях и т.д. Такие таблицы называют матрицами планирования эксперимента.

Реализация плана эксперимента представлена в табл. 6.4.

143

недостаток: увеличение количества факторов приводит к быстрому

модели ограничиваются парнымиАили, в крайнем случае, отдельными тройными взаимодействиями факторов. В этом случае ПФЭ оказывается избыточным, так как число точек спектра плана N значительно большеСкол чества коэффициентов регрессии NB. В результате возникает возможность сокращения числа опытов.

росту числа опытов. Например, при n = 10 спектр плана содержит N = 210 = 1024 опыта. Кроме того, необходимо дублирование опытов.

Обычно при построениибмногофакторной регрессионной

Во многих случаях на начальной стадии моделирования технической системы в связи с отсутствием необходимой информации о влиянии на ее выходные параметры различных факторов (внутренних или внешних параметров) строят линейную

В этом уравнении четыре коэффициента регрессии, а при n=3 спектр плана ПФЭ содержит 8 точек, т. е. предусматривает 8 опытов в различных точках факторного пространства. Следовательно, четыре опыта оказываются избыточными и их можно было бы исключить. При построении математических моделей, использующих

144

упрощенные уравнения регрессий, когда N > NB, применяют дробные факторные эксперименты (ДФЭ). Наибольшее распространение имеют регулярные планы ДФЭ типа 2n - p, т.е. ДФЭ2n - p, где n – число факторов; р – степень дробности ДФЭ.

При построении матрицы спектра плана ДФЭ2n - p число точек спектра плана определяется по формуле

При выборе степени дробности ДФЭ должно выполняться условие

1.Выбор структуры уравненияДрегрессииИи определение степени дробности ДФЭ.

2.Выбор ведущих факторовАи построение для них матрицы спектра плана, определяющую программу их изменения в ходе эксперимента. k = n – p. Длябвыбранных ведущих факторов х1, х2, …, хk строят план ПФЭ2k.

3.Построениеиматрицы спектра плана ДФЭ2n - p.СтолбцыСматрицы X, соответствующие этим факторам,

определяют путем перемножения соответствующих столбцов ведущих факторов. Для этого используют генерирующие соотношения. Генерирующим соотношением называется алгебраическое выражение, устанавливающее связь между одним из факторов xk+1, xk+2 ,..., xn и произведением какой-либо комбинации ведущих факторов x1, x2, …, хk. Выбор генерирующих соотношений, вообще говоря, произволен. Однако в качестве генерирующих нельзя использовать те произведения ведущих факторов, которые входят в состав существенных переменных.

Генерирующее соотношение имеет вид

145