Материал: 1925

наблюдения за поведением системы при случайных изменениях входных параметров, то он называется пассивным. Если же при проведении эксперимента входные параметры изменяются по заранее заданному плану, то такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. На практике не существует абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемый, так и неуправляемый факторы. Неуправляемые факторы действуют на воспроизводимость эксперимента. Если все факторы неуправляемы, возникает задача установления связи между параметром оптимизации и факторами по результатам наблюдений или по результатам

Общая совокупность таких векторов X (i = 1, … , L) образует

i

план экспериментаС, а совокупность различных векторов, число которых обозначим N, − спектр плана.

В активном эксперименте факторы могут принимать только фиксированные значения. Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. Количество принимаемых уровней факторов зависит от выбранной структуры факторной модели и принятого плана эксперимента. Минимальный Xjmin и максимальный Хjmах, j = l, …, n (n − число факторов), уровни всех факторов выделяют в факторном пространстве некоторый гиперпараллелепипед, представляющий собой область планирования. В области планирования находятся все возможные значения факторов, используемые в эксперименте.

136

планирования. Координаты этой точки обычно выбирают из соотношения

Точку Х0 называют центром эксперимента. Она определяет основной уровень факторов Хj0, j = 1, … , n. Центр эксперимента стремятся выбрать как можно ближе к точке, которая соответствует искомым оптимальным значениям факторов. Для этого используется

Факторы нормируют, а их уровни кодируют. В кодированном

Рис. 6.2. Геометрическое представление области планирования при двух факторах

137

Точки 1, 2, 3, 4 являются точками плана эксперимента.

Например, значения факторов Х1 и Х2 в точке 1 равны соответственно

X1min и Х2min, а нормированные их значения xlmin = –1; х2min = –1.

После установления нулевой точки выбирают интервалы

варьирования факторов. Это связано с определением таких значений факторов, которые в кодированных величинах соответствуют +1 и –1. Интервалы варьирования выбирают с учетом того, что значения факторов, соответствующие уровням +1 и –1, должны быть достаточно отличимы от значения, соответствующему нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина интервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. С другой стороны, чрезмерное увеличение величины интервалов варьирования нежелательно, т. к. это может

привести к снижению эффективности поиска оптимума. Очень малый

варьирования факторов в области экспериментаДИ. От числа уровней зависят объем эксперимента и эффективность оптимизации.

интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что

замедляет поиск оптимума. При выборе интервала варьирования

целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней

План эксперимента удобно представлять в матричной форме. Матрица спектра плана – это матрица, в которую входят

только различающиеся между собой строки матрицы плана.

Матрица плана представляет собой прямоугольную таблицу, содержащую информацию о количестве и условиях проведения опытов. Строки матрицы плана соответствуют опытам, а столбцы – факторам. Размерность матрицы плана L х n, где L – число опытов; n – число факторов. При проведении повторных (дублирующих) опытов в одних и тех же точках плана матрица плана содержит ряд совпадающих строк.

138

6.5. Структура экспериментальной факторной модели

Под структурой экспериментальной факторной математической модели понимается вид математических соотношений между факторами X, Z и откликом Y. В качестве факторов принимают внутренние и внешние параметры технической системы, подлежащие оптимизации в процессе ее проектирования. Внутренние параметры системы – это параметры ее элементов, внешние – это параметры внешней среды, в условиях воздействий которой осуществляется функционирование системы. Функциями отклика Y являются выходные параметры технической системы, характеризующие ее эффективность и качество процессов функционирования. Выходные параметры системы принимаются в качестве критериев оптимальности.

Структура факторной модели выбирается на основе априорной информации, используя принцип постепенного ее усложнения. Параметры факторной математической модели определяются методами регрессионного анализа. При определении параметров

В качестве базисных функций экспериментов используют переменные простейших полиномов, системы ортогональных полиномов, тригонометрические функции. Наиболее часто пользуются простейшими полиномами первой и второй степеней. Например, полином первой степени, описывающий функцию отклика у при двух факторах х1 и х2 , может иметь вид

139

Полином второй степени будет иметь вид

140