Материал: 1798
111
10.2.Расчет валов на прочность и жесткость
Впредыдущем параграфе было показано, что наибольшие касательные напряжения располагаются на поверхности вала. Они являются опасными напряжениями и не должны превосходить допускаемых, т.е.
max |
Mk |
k . |
(10.18) |
|
Wp |
||||
|
|
|
Это уравнение является условием прочности при кручении.
С помощью формулы (10.18) можно проводить три вида расчетов, аналогичных деформации растяжения (см. § 8.2).
1.Проверочный расчет проводится по формуле (10.18), чтобы убедиться в прочности детали после того, как узел спроектирован.
2.Проектный расчет. Для этого уравнение (10.18) нужно решить относительно Wр:
Wp |
Mk |
|
k . |
(10.19) |
Момент инерции для круглого сечения определяется по формуле
Ip |
d4 |
|
||
|
, |
(10.20) |
||
32 |
||||
|
|
|
||
где d – диаметр вала.
Момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле
Wp |
d3 |
|
||
|
. |
(10.21) |
||
16 |
||||
|
|
|
||
Подставив значение Wр в формулу (10.19) и решив ее относительно диаметра d, получим
16Mk |
|
|
d 3 |
. |
(10.22) |
k |
||
Проектный расчет предусматривает определение диаметра вала по известным крутящему моменту Мк и допускаемому напряжению [ к].
3. Расчет предельного момента проводят с целью определения наибольшей нагрузки на вал по формуле, полученной из формулы (10.18),
Мпр = [ k] Wp . |
(10.23) |
Два вала разных диаметров и изготовленных из разных материалов |
|
называются равнопрочными, если |
|
Мпр1 = Мпр2 |
(10.24) |
или |
|
112
[ k1] Wp1 = [ k2] Wp2 . |
(10.25) |
Это уравнение называется условием равнопрочности.
Соблюдение условия прочности (10.18) часто бывает недостаточным. Длинные валы при допускаемом крутящем моменте, т.е. при обеспеченной прочности, закручиваются на большой угол, а если момент Мк не постоянен, то они "играют", как пружина, вызывая колебания (вибрации). Это очень вредно для работы машины. Поэтому установлены допускаемые значения угла закрутки, точнее относительного угла закрутки , определяемого по формуле (10.1) и являющегося характеристикой жесткости вала.
Требование достаточной жесткости вала определяется по условию
|
|
|
Mk |
, |
(10.26) |
|
|
||||
|
l |
GIp |
|
||
где допускаемый относительный угол закрутки вала
[ ] = (0,25 ... 1) град/м = (0,0045 ... 0,0175) рад/м . (10.27)
Проверочный расчет на жесткость проводят по формуле (10.26). Проектный расчет на жесткость – по формуле
d 4 |
32Mk |
|
|
|
. |
(10.28) |
|
G |
|||
Предельный момент по жесткости рассчитывают по формуле |
|
||
Мпр = GJр [ ]. |
(10.29) |
||
Произведение GJр называется жесткостью сечения вала при кручении. Аналогом при растяжении является произведение ES (см. § 8.3).
Жесткостью вала при кручении называется отношение крутящего
момента к углу закручивания, т.е. |
M |
|
|
GIp |
|
|
jk |
k |
|
. |
(10.30) |
||
|
|
l |
||||
|
|
|
|
|||
Это выражение получено из формулы (10.17). Валы разных размеров и изготовленные из разных материалов имеют равную жесткость, если
|
|
Mk1 |
|
|
|
Mk2 |
|
|
(10.31) |
|
|
1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
G1Ip1 |
|
G2Ip2 |
, |
(10.32) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
l1 |
|
|
|
l2 |
|
||
где параметры, имеющие индекс 1, относятся к первому валу, а индекс 2 – ко второму.
113
10.3.Полярные моменты инерции и сопротивления
В§ 10.1 полярным моментом инерции был назван интеграл
|
|
|
2dS Ip |
(10.33) |
|
|
|
|
s |
|
|
Рассмотрим круг радиусом r, в котором |
|
||||
все элементарные площадки dS, |
|
||||
удаленные от центра O (рис.10.1, б) на |
|
||||
расстояние |
, |
объединены |
в |
|
|
элементарное |
кольцо шириной |
d |
|
||
(рис.10.3). |
|
|
|
|
|
Элементарная площадь этого кольца |
|
||||
равна площади |
прямой |
полосы |
|
||
шириной d и длиной 2 , т.е. |
|
|
|
||
dS = 2 d . |
|
|
(10.34) |
|
|
Подставив значение dS в формулу |
|
||||
(10.33), получим |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
Jp 22 d 2 3d . |
(10.35) |
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
Рис.10.3
Интегрирование проводят в пределах изменения текущего радиуса от 0 до r. После интегрирования имеем
Jp |
r |
4 |
|
d4 |
|
|
|
|
|
. |
(10.36) |
||
|
|
32 |
||||
2 |
|
|
|
|
||
Мы получили формулу (10.36), где d – диаметр круга. Из уравнения (10.14) явствует, что полярный момент сопротивления
Wp |
Jp |
|
r4 |
|
r |
3 |
|
d3 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(10.37) |
||||
r |
2r |
|
|
16 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
В § 10.1 отмечалось, что напряжения в сечении вала согласно формуле (10.10) и рис. 10.1, б распределяются прямо пропорционально радиусу и сердцевина вала слабо нагружена. Для уменьшения массы вала его делают полым, удаляя внутреннюю часть и получая кольцевое сечение
(рис. 10.4).
Момент инерции для кольцевого сечения рассчитывается по формуле (10.35), в которой изменяются пределы интегрирования
rh |
|
Jp 2 3d . |
(10.38) |
rв
|
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r4 |
r4 |
|
|
|||
После интегрирования получим |
Jp |
h |
|
в |
|
|
(dн4 dв4). |
(10.39) |
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
32 |
|
|||
|
|
|
|
Если |
обозначить |
отношение |
||
|
диаметров |
|
|
|
||||
dв 
dн
(10.40)
и подставить в формулу (10.39), то получим
Jp dн4 (1 4).
32
(10.41)
Если уравнение (10.41) разделить на rн = dн/2, то получим
Wp |
dн3 |
(1 |
4 |
). |
(10.42) |
|
|
||||
16 |
|
|
|
|
|
Рис.10.4
10.4. Примеры расчетов
Пример 1. Стальной вал сплошного сечения передает мощность N = 60 кВт. Частота вращения вала n = 240 об/мин. Определить диаметр вала d из условий прочности и жесткости, если [ k] = 40 МПа, допускаемый угол закручивания [ 0] = 1 град/м, модуль сдвига G = 8·105 МПа.
Р е ш е н и е.
Определяем крутящий момент, приложенный к валу,
Mk |
9,55 |
N |
9,55 |
60000 |
2387Нм = 2,4·106Н·мм. |
n |
|
||||
|
|
240 |
|
||
Из расчета на прочность по формуле (10.22) определяем диаметр
вала
|
|
|
|
16М |
к |
|
|
|
|
|
16 2,4 106 |
|||||||||||||||
|
|
d 3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
67,3мм . |
|||||||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
40 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Определяем диаметр вала из расчета на жесткость по формуле |
||||||||||||||||||||||||||
(10.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 2,4 106 |
|
|
|
|
|||||||
d |
4 |
|
32Мк |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36,3мм , |
|||||||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
1,75 |
|
10 |
5 |
|
||||||||||||
где 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 10 5рад/мм. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
180 1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
180 1000 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
115
Выбираем диаметр вала из расчета на прочность d = 70 мм. Пример 2. От сплошного вала к полому через кулачковую муфту
передается мощность N = 10 кВТ при частоте вращения n = 100 об/мин. Подобрать диаметр d сплошного вала и наружный диаметр dн полого вала при коэффициенте полости = 0,7, приняв допускаемое касательное напряжение [ k] = 60 МПа.
Р е ш е н и е Определяем крутящий момент, передаваемый валами,
Mk |
9,55 |
N |
9,55 |
10000 |
955Нм = 0,95·106Н·мм. |
n |
|
||||
|
|
100 |
|
||
Подбираем диаметр сплошного вала по формуле (10.22)
|
16М |
к |
|
|
16 0,95 106 |
|
||
d 3 |
|
|
3 |
|
43 |
мм. |
||
к |
|
|
||||||
|
|
|
|
60 |
|
|||
Для полого вала в формулу (10.19) подставляем значение Wр из формулы (10.42) и решаем в отношении диаметра dн, получаем
|
|
|
d’ 3 |
|
|
16Мк |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(10.41) |
|
|
(1 4) к |
|||||||
В формулу (10.42) подставляем числовые значения и находим |
||||||||
диаметр полого вала |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
dн |
3 |
16 0,95 106 |
47мм. |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(1 0,74)60 |
|
||||
Расчет показывает, что диаметр полого вала всего лишь на 10 % больше сплошного.
Пример 3. Сравнить массы и углы закручивания двух сплошных круглых валов длиной l = 2 м каждый, воспринимающих одинаковые крутящие моменты Мк = 1кНм. Один вал стальной, другой из алюминиевого сплава. Диаметры валов подобрать по условию прочности. Дано: для стального вала [ k] = 80 МПа, = 7,85·103кг/м3, G = 8·104МПа, для вала из алюминиевого сплава [ k] = 50 МПа, = 2,6·103кг/м3, G = 3 104МПа.
Р е ш е н и е
Подбираем диаметр валов из условия прочности: для стального вала
dст |
|
16М |
к |
|
|
16 1 106 |
|
||
3 |
|
|
3 |
|
40 |
мм; |
|||
к |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
80 |
|
|||
для алюминиевого вала