Материал: 1510

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

экстремума	функции z f x,y		(рис. 11, 12). В	точке локального
экстремума	функции	z f x,y касательная		плоскость	либо
параллельна	x0y, т. е.	fx и	fy 0, либо не существует, т.		е. не
существуют хотя бы одна из производных: fx или				fy.

2. Необходимое и достаточное условия

существования локального экстремума

Необходимое условие

Пусть точка М0 – точка локального экстремума функции

u f M ,

M0 Rm .

Для

определенности возьмем

точку

М0

минимум, тогда f

M0 0,

следовательно,

M0 0.

Пусть

функция

дифференцируема

точке

М0,

т.

е.

существуют

непрерывные f

lim

т. к.

для x 0;

xi 0 x

0 для xi

Теорема 1. В точке локального экстремума fxi M0 0 или не существуют, i 1,m.

Достаточное условие

Рассмотрим

u f M , M Rm .

Пусть

функция

трижды

дифференцируема в

точке

М0

и некоторой

ее окрестности,

М0

стационарная точка df M0 0 .

Рассмотрим формулу Тейлора в точке М0:

f M0

df M0

2 f M

d2 f M

Отсюда и из определения экстремума следует теорема 2.

Теорема 2.

Пусть

функция

u f M , M Rm

трижды

дифференцируема

в окрестности

стационарной точки

М0

df M0 0 , тогда:

1) точка М0

– точка локального минимума, если d2 f M0 0;

2) точка М0 – точка локального максимума, если d2 f M0 0;

3) точка М0 не является точкой локального экстремума, если

d2 f M0 меняет свой знак в зависимости от приращений аргументов.

Замечание. Если d2 f M0

0, то f M0

d3 f M

и требуется

дальнейшее исследование.

Из теоремы 2 следует достаточное условие существования

локального экстремума для функции двух переменных z f x,y .

Теорема 3.

Пусть функция z f x,y

трижды дифференцируема в точке М0

и некоторой ее окрестности,

df M0 0, тогда точка

М0

является

точкой локального экстремума,

если M0

Zxx

0, и минимума,

причем точка М0– точка максимума, если Zxx

0. Если M0

0, то точка

М0 не является точкой

если Zxx M0

локального

экстремума. Если

M0 0,

признак

не

работает,

следовательно, требуются дополнительные исследования.

Правило

нахождения

локального

экстремума:

находим

стационарные или критические точки, т. е. точки, в которых производные равны нулю или не существуют; пользуясь теоремой 2

или 3, исследуем знак d2 f M0 или М0 и запишем ответ. Если теорему 2 или 3 нельзя применить, то исследуем знак полного приращения f M0 , т.е. исследуем функцию на экстремум по определению.

Пример. Найти точки локального экстремума функции z x2 y2.

Решение. Находим критические точки.

dz d x2 y2 2xdx 2ydy; xy 00 M0 0;0 критическая точка.

Проверяем достаточное условие существования экстремума.

d2z d 2xdx 2ydy 2 dx 2 2 dy 2 0 d2 f 0;0 0 M0 0;0

точка минимума. Ответ: zmin z 0;0 0.

Пример. Найти точки локального экстремума функции

z x2 y2 .

Решение. zx

; zy

, не существуют zx , zy в

x2 y2

точке M0 0;0 . Воспользуемся определением локального экстремума

и найдем полное приращение

z M z M

0, где M x, y ,

x2 y2

M0 0;0 . Т. к. z

M 0 0

точка, M0 0;0 точка локального минимума.

Ответ: zmin z 0;0 0.

Пример. Найти точки локального экстремума функции z x3 y3.

Решение. Находим критические точки:

z	0	M		0;0 критическая точка;
dz d x3 y3 3x2dx 3y2dy x		M	0	0;0 критическая точка;
zy 0
d2z d 3x2dx 3y2dy 6x dx 2 6y dy 2,					d2z	M0 0
d2z d 3x2dx 3y2dy 6x dx 2 6y dy 2,					d2z	M0 0
требуются дополнительные исследования.
d3z 6 dx 3 6 dy 3 0;dx 0;dy 0;				d3z 6 dx 3 6 dy 3 0;
dx 0;dy 0.

Т. к. дифференциал d3z меняет свой знак, следовательно, точка

М0 не является точкой локального экстремума.

ЛЕКЦИЯ №6

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ВЕКТОР-ГРАДИЕНТ

Производная по направлению. Вектор-градиент
Рассмотрим функцию u f x,y,z , возьмем точку	M0 x0,y0,z0 .

Необходимо найти мгновенную скорость изменения функции в

направлении

вектора

l1,l2,l3 .

Пусть

l0 cos ,cos ,cos , где

, ,

углы между

координатными

осями

0x,0y,0z

соответственно.

cos ; l

и l

;

cos ;

cos .

M x,y,z

из окрестности точки М0

Возьмем точку

(рис. 13).

Рассмотрим вектор M0M x x0;y y0;z z0 x; y; z ,

обозначим

y 2

z 2 M0,M .

l x 2

Отсюда x lcos ;

y lcos ;

z lcos .

Найдем полное приращение функции в точке М0:

u u M u M0 ,

тогда

u l

–

средняя

скорость

изменения

функ-

ции на отрезке M

M ;

lim u l

–

l 0

мгновенная

скорость

изменения

функции в точке М0 в направлении

Рис. 13

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)